Exercice 9 [Systèmes différentiels

Exercice 9

Partie

Question

Ecrire (en coordonnées cartésiennes) le système du 1er ordre dont l'écriture vectorielle dans le plan $R^2$ privé de l'origine est

$X''=-K\frac{X}{||X||^3}$

(attraction centrale de module inversement proportionnel au carré de la distance)

Solution détaillée

Soit , alors \displaystyle{\frac{X}{||X||^3}=\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\left( $\begin{array}{cccccc}x \\ y \\ z\end{array}$ \right)}

donc le système s'écrit

$\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x''=-\frac{Kx}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \\ y''=-\frac{Ky}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \\ z''=-\frac{Kz}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\end{array}\right.}$

Ce système du second ordre se ramène à un système du premier ordre en introduisant 3 nouvelles variables $u, v, w$ .

On obtient le système de dimension 6 :

$\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x' & = & u \\ y' & = & v \\ z' & = & w \\ u' & = & -\frac{Kx}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \\ v' & = & -\frac{Ky}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \\ w' & = & -\frac{Kz}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\end{array}\right.}$