Champ créé par une demi-spire circulaire
Durée : 12 mn
Note maximale : 5
Question
On considère dans un repère \(\mathfrak{R}(O; x,y,z)\), un demi cercle de centre \(O\), de rayon \(R\), d'axe \(z'z\), situé dans le plan \(Oxy\) et parcouru par un courant continu d'intensité \(I\).
Calculer le champ magnétostatique en \(O\).
Solution
\(d\vec B(M)=\frac{\mu_0I}{4\pi}\vec{dl}\wedge\frac{\vec{PM}}{PM^3}=\frac{\mu_0I}{4\pi(R^2+z^2)^{3/2}}\vec{dl}\wedge\vec{PM}\)
\(\vec{PM}=-R\cos\theta\vec{e_x}-R\sin\theta\vec{e_y}+z\vec{e_z}\) et \(\vec{dl}=-Rd\theta\sin\theta\vec{e_x}+Rd\theta\cos\theta\vec{e_y}\)
\(d\vec B(M)=\frac{\mu_0I}{4\pi(R^2+z^2)^{3/2}}\left[\begin{array}{c} -Rd\theta\sin\theta \\ Rd\theta\cos\theta \\ 0 \end{array}\right. \wedge \left[\begin{array}{c} -R\cos\theta \\ -R\sin\theta \\ z \end{array}\right.= \frac{\mu_0I}{4\pi(R^2+z^2)^{3/2}} \left[\begin{array}{c} zR\cos\theta d\theta \\ zR\sin\theta d\theta \\R^2d\theta \end{array}\right.\)
\(d\vec B(O)=\frac{\mu_0I}{4\pi R^3}R^2d\theta\vec{e_z}\) puisqu'en \(O\), \(z=0\).
\(\vec B(O)=\frac{\mu_0I}{4\pi R}\vec{e_z}\int_0^{\pi}d\theta=\frac{\mu_0I}{4R}\vec{e_z}\)
5 pts