Champ au centre d'un solénoïde
Durée : 12 mn
Note maximale : 5
Question
Un cylindre conducteur infiniment long, d'axe \(z'z\) et de rayon \(a\) est parcouru par un courant continu d'intensité \(I\), la densité de courant \(\vec j=j\vec{e_z}\) y est uniforme.
En tenant compte de la leçon 1-1, donner la relation qui existe entre \(I\) et \(j\).
Quelle est la direction du champ magnétostatique créé par le conducteur en un point \(M\) ?
En appliquant le théorème d'Ampère, calculer le module du champ en fonction de la distance \(r\) du point \(M\) à l'axe \(z'z\).
Solution
1-\(\vec j\) étant uniforme, on a :
\(I=\int_s\int\vec j.\vec{dS}=\int_s\int j.dS=j\int_s\int dS=j.S=j\pi a^2\)
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2- Que le point \(M\) soit à l'intérieur ou a l'extérieur du conducteur, le plan \(Mz'z\) est un plan de symétrie auquel \(\vec B(M)\) est donc perpendiculaire : le champ est orthoradial.
Comme pour le fil infiniment long, les lignes de de champ sont des cercles d'axe \(z'z\).
Le conducteur étant infiniment long, une translation ou une rotation par rapport à \(z'z\) laisse le système invariant: \(B(M)=B(r)\) et sur une ligne de champ comme \(r = cte, B(M) = cte\).
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3- Le contour d'Ampère est donc un cercle de rayon \(OM = r\).
M extérieur au conducteur: \(r >a\) :
\(\oint_c\vec B.\vec{dl}=\oint_cB.dl=B\int_cdl=B.2\pi r=\mu_0I\), d'où : \(B(M)=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\)
M intérieur au conducteur : \(r < a\) :
\(\oint_c\vec B.\vec{dl}=B2\pi r=\mu_0\int_c\int\vec j.\vec{dS'}=js'=\frac{I}{\pi a^2}\pi r^2\) d'où \(B(M')=\frac{\mu_0I}{2\pi}.\frac{r}{a^2}\)
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