Matrices carrées
Définition :
On appelle matrice carrée, une matrice du type (\(n\), \(n\)).
L'ensemble des matrices carrées de dimension \(n\) dans \(\mathbb{K}\) est notée \(M_{n,n}~(\mathbb{K})\) ou \(M_{n}~(\mathbb{K})\).
Les termes de la forme \(a_{ii}\) d'une telle matrice \(A\) constituent la diagonale principale.
Propriété :
L'ensemble des matrices carrées \(M_{n} (\mathbb{K})\) possède pour l'addition et la multiplication une structure d'anneau.
Exemple :
\(\begin{array}{l l} A = (3) & ; A \in \mathcal{M}_{1}~(\mathbb{R}) \\ B = \begin{pmatrix} 1 & -i \\ 2 & 3+i \end{pmatrix} & ; B \in \mathcal{M}_{2}~(\mathbb{C}) \\ C = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -2 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & -3 \end{pmatrix} & ; C \in \mathcal{M}_{3}~(\mathbb{R}) \end{array}\)
Matrices carrées remarquables
Matrice diagonale
Définition:
Matrice carrée dont tous les éléments sont nuls sauf ceux de la diagonale principale.
\(A = (a_{ij})\) avec \(a_{ij} = 0\) pour \(i~^{1}~j\)
Propriété:
Si \(A = \begin{pmatrix} \alpha & 0 & 0 \\ 0 & \beta & 0 \\ 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix} \Rightarrow \color{blue} A^{n} = \begin{pmatrix} \alpha^{n} & 0 & 0 \\ 0 & \beta^{n} & 0 \\ 0 & 0 & \gamma^{n} \end{pmatrix}\)
Matrice unité I
Définition:
Matrice diagonale où tous les termes de la diagonale principale sont égaux à \(1\).
\(A = (a_{ij})\) avec \(a_{ii} = 1\)
Propriété:
\(AI = IA = A\) avec
\(I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) à l'ordre \(2\)
ou
\(I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) à l'ordre \(3\)
Matrice scalaire
Définition:
Matrice diagonale où tous les termes de la diagonale principale sont égaux.
\(A = (a_{ij})\) avec \(a_{ii} = \lambda \in \mathbb{K}\)
Propriété:
Si \(A = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} \Rightarrow A = \lambda \textcolor{cyan}{I} = \lambda \color{cyan}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Matrice symétrique
Définition:
Matrice carrée dont les éléments symétriques par rapport à la diagonale sont égaux.
\(A = \begin{pmatrix} \alpha & -1 & 3 \\ -1 & \beta & -5 \\ 3 & -5 & \gamma \end{pmatrix} \quad a_{ij} = a_{ji}\)
Propriété:
Une matrice carrée \(A\) telle que \(A = ^{t}A\) est symétrique.
Matrice antisymétrique
Définition:
Matrice carrée dont les éléments symétriques par rapport à la diagonale sont opposés et ceux de la diagonale principale nuls.
\(A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & -6 \\ -3 & 6 & 0 \end{pmatrix} \quad a_{ij} = -a_{ji}\) et \(a_{ii} = 0\)
Propriété:
Une matrice carrée \(A\) telle que \(A = -^{t}A\) est antisymétrique.
Matrice triangulaire
Définition:
Matrice carrée dont les éléments sont nuls au-dessus (\(a_{ij} = 0\) pour \(i > j\) : matrice triangulaire supérieure) ou au-dessous (\(a_{ij} = 0\) pour \(i < j\) : matrice triangulaire inférieure) de la diagonale principale.
Matrices triangulaires supérieures : \(A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ \color{cyan}0 \color{black}& 3 \end{pmatrix} ; B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ \color{cyan}0 & \color{black} 3 & 5 \\ \color{cyan}0 & \color{cyan}0 & \color{black} 6 \end{pmatrix}\)
Matrices triangulaires inférieures : \(C = \begin{pmatrix} 0 & \color{cyan}0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} ; D = \begin{pmatrix} 1 & \color{cyan}0 & \color{cyan}0 \\ 2 & 0 & \color{cyan}0 \\ 0 & 4 & -3\end{pmatrix}\)