Multiplication de deux matrices

Définition

Deux matrices \(A = (a_{ik})\) de type (\(n\), \(p\)) et \(B = (b_{kj})\) de type (\(p\), \(q\)) peuvent se multiplier.

Le produit de ces deux matrices est une matrice \(C = (c_{ij})\) de type (\(n\), \(q\)), où l'élément \(c_{ij}\) de \(C\) est obtenu en sommant les produits des éléments de la ième ligne de \(A\) par les éléments de la jème colonne de \(B\).

\(\textcolor{red}{C = AB} \Leftrightarrow \color{red} c_{ij} \color{black} = a_{i1} b_{1j} + a_{i2} b_{2j} + ... + a_{ip} b_{pj} = \color{red} \overset{p}{\underset{k = 1}{\sum}}~a_{ik} b_{kj}\)

Schéma pratique pour la multiplication de deux matrices

mulmat.param [param]

Propriété

  • Le produit matriciel n'est pas, en général, commutatif : \(AB~^{1}~BA\)

On donne les matrices \(A = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}\),

\(\color{red} AB = \begin{pmatrix} 3 &2 & -2 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}\).

\(BA\) n'existe pas car le nombre de colonnes \(\color{red} (3)\) de \(B\) est différent du nombre de lignes \(\color{red} (2)\) de \(A\).

D'où \(\color{blue}AB~^{1}~BA\).

  • Le produit matriciel est associatif : \(A (BC) = (AB) C\)

On considère les matrices carrées (d'ordre 2) suivantes :

\(A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix},~~B = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix},~~C = \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\)

  • Calcul de \(\color{blue}A (BC)\) sachant que :

    \(BC = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -4 & -2 \end{pmatrix}\)

    et \(\textcolor{red}{A(BC)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -4 & -2 \end{pmatrix} = \color{red}\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -10 & -8 \end{pmatrix}\)

  • Calcul de \(\color{blue}(AB) C\) sachant que :

    \(AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -9 & 8 \end{pmatrix}\)

    et \(\textcolor{red}{(AB)C} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -9 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \color{red} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -10 & -8 \end{pmatrix}\)

  • Le produit matriciel est distributif par rapport à l'addition :

    \(A (B + C) = AB + AC\) (\(A\) prémultiplie \((B + C)\))

    \((B + C) A = BA + CA\) (\(A\) postmultiplie \((B + C)\))

On considère les matrices carrées (d'ordre 2) suivantes :

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}, ~~B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}, ~~C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\)

Calcul de \(\color{blue}{A (B + C)}\) sachant que :

\(B + C = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 1\end{pmatrix}\)

et \(\textcolor{red}{A(B + C)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \color{red} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -10 & 5 \end{pmatrix}\)

Calcul de \(\color{blue}{AB + AC}\) sachant que :

\(AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & -1 \\ -3 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -9 & 8 \end{pmatrix}\)

et \(AC = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & -3\end{pmatrix}\)

d'où \(\textcolor{red}{AB + AC} = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ -9 & 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} = \color{red} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -10 & 5 \end{pmatrix} = A(B + C)\)

  • Le produit matriciel est nul si l'une des matrices est nulle

    (\(A = 0\) ou \(B = 0\)) \(\Rightarrow AB = 0\),

    mais \(AB = 0\) n'implique pas (\(A = 0\) ou \(B = 0\))

Si \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\),

alors \(\textcolor{red}{BA} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix} = \color{red}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\): matrice nulle avec \(A~^{1}~0\) et \(B~^{1}~0\).

Remarque : Non commutativité du produit car \(AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\).

Le produit \(AB = A\) bien que \(B\) soit différent de la matrice identité d'ordre 2 : \(I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).

  • L'égalité \(AB = AC\) n'implique pas \(B = C\)

On considère les matrices :

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix},~~ B = \begin{pmatrix} 2 & -6 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}, ~~ C = \begin{pmatrix} -2 & 10 \\ 1 & - 5\end{pmatrix}\)

Calculons :

\(\color{red} AB \color{black} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -6 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-2 & -6 +6 \\ 4-4 & -12 + 12\end{pmatrix} = \color{red}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\),

\(\color{red} AC \color{black} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 10 \\ 1 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-2 & 10 -10 \\ 4-4 & -20 + 20\end{pmatrix} = \color{red}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)

L'égalité \(AB = AC\) n'entraîne pas nécessairement \(B=C\).