Somme et différence de deux matrices
Définition :
Deux matrices \(A = (a_{ij})\) et \(B = (b_{ij})\) de même type (\(n\), \(p\)) peuvent s'additionner ou se soustraire.
La somme (ou différence) de ces deux matrices est une matrice \(C = (c_{ij})\) du même type telle que : \(C = A \pm B \Leftrightarrow c_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij}\)
Propriété :
L'addition ainsi définie est une loi de composition interne. Cette loi munit l'ensemble des matrices du type (\(n\), \(p\)) d'une structure de groupe abélien.
\(A + (B + C) = (A + B) + C\) | associativité |
\(A + B = B + A\) | commutativité |
\(A + 0 = 0 + A = A\) | élément neutre \(\Big( 0~\textrm{matrice nulle}~: a_{ij} = 0 \quad 1\leq i \leq n~\textrm{et}~1 \leq j \leq p \Big)\) |
\(A + (- A) = 0\) | élément symétrique \(\Big( - A = (- a_{ij})~\textrm{matrice opposée à}~A = a_{ij} \Big)\) |
La soustraction ne remplit pas les critères d'associativité et de commutativité.
Exemple :
Si \(A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 2 & 7 & 3 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 5& -1 & 6 \\ -2 & 1 & -3 \end{pmatrix}\),
alors \(A + B = \color{cyan} \begin{pmatrix} 6& 3 & 4 \\ 0 & 8 & 0\end{pmatrix}\) et \(A - B = \color{cyan} \begin{pmatrix} -4 & 5 & -8 \\ 4 & 6 & 6 \end{pmatrix}\)