Somme et différence de deux matrices [Calcul matriciel]

Somme et différence de deux matrices

Définition :

Deux matrices $A = (a_{ij})$ et $B = (b_{ij})$ de même type ( $n$ , $p$ ) peuvent s'additionner ou se soustraire.

La somme (ou différence) de ces deux matrices est une matrice $C = (c_{ij})$ du même type telle que : $C = A \pm B \Leftrightarrow c_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij}$

Propriété :

L'addition ainsi définie est une loi de composition interne. Cette loi munit l'ensemble des matrices du type ( $n$ , $p$ ) d'une structure de groupe abélien.

$A + (B + C) = (A + B) + C$	associativité
$A + B = B + A$	commutativité
$A + 0 = 0 + A = A$	élément neutre $\Big( 0~\textrm{matrice nulle}~: a_{ij} = 0 \quad 1\leq i \leq n~\textrm{et}~1 \leq j \leq p \Big)$
$A + (- A) = 0$	élément symétrique $\Big( - A = (- a_{ij})~\textrm{matrice opposée à}~A = a_{ij} \Big)$

La soustraction ne remplit pas les critères d'associativité et de commutativité.

Exemple :

Si $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 2 & 7 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 5& -1 & 6 \\ -2 & 1 & -3 \end{pmatrix}$ ,

alors $A + B = \color{cyan} \begin{pmatrix} 6& 3 & 4 \\ 0 & 8 & 0\end{pmatrix}$ et $A - B = \color{cyan} \begin{pmatrix} -4 & 5 & -8 \\ 4 & 6 & 6 \end{pmatrix}$