Transposition d'une matrice

Définition

On appelle transposée d'une matrice \(A\) de type (\(n\), \(p\)) et de terme général \(a_{ij}\), la matrice notée \(^{t}A\) obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de même indice \(i\) de \(A\):

\(\color{red}A = (a_{ij}) \Leftrightarrow~^{t}A =~^{t}(a_{ij}) = a_{ji}\)

Propriété

\(^{t}~(~^{t} A) = A\)

Soit \(A = \begin{pmatrix} 2& -1 & 3 \\ 0 & -4 & 5\end{pmatrix}\),

alors \(^{t}A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & -4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}\)

et \(\color{red} ^{t} \Big(~^{t}A \Big) \color{black} = \begin{pmatrix} 2& -1 & 3 \\ 0 & -4 & 5 \end{pmatrix} = \color{red} A\)

\(^{t}(\alpha A) = \alpha~^{t}A\)

Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & -4 & 5 \end{pmatrix}\),

alors \(\alpha A = \begin{pmatrix} 2 \alpha & -\alpha & 3\alpha \\ 0 & -4 \alpha & 5 \alpha \end{pmatrix}\)

et \(\color{red} ^{t} (\alpha A) \color{black}= \begin{pmatrix} 2 \alpha & 0 \\ - \alpha & -4 \alpha \\ 3 \alpha & 5 \alpha \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & -4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} = \color{red} \alpha~^{t}A\)

\(^{t} (A + B) =~^{t}A +~^{t}B\)

On donne les matrices \(A = \begin{pmatrix} 2& -1 & 3 \\ 0 & -4 & 5 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 0 \\ 2 & 6 & -2 \end{pmatrix}\),

alors \(A + B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow ~^{t}(A + B) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}\)

et \(\color{red} ^{t}A +~^{t}B \color{black}= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & - 4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3& 6 \\ 0 & -2\end{pmatrix} = \color{cyan} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \color{black} = \color{red} ~^{t}( A + B )\)

\(^{t} (A B) =~^{t}B~~^{t}A\)

On donne les matrices \(C = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & - 4\end{pmatrix}\) et \(D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ -3 & 1 & 4 \end{pmatrix}\),

alors \(CD = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ -3 & 1 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 3 & -1 & -4 -4 \\ 3 +12 & -4 & -6-16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -1 & -8 \\ 15 & -4 & -22 \end{pmatrix}\),

d'où \(^{t}(CD) = \begin{pmatrix} 5 & 15 \\ -1 & -4 \\ -8 & -22 \end{pmatrix}\)

puis \(\color{red}^{t}D~^{t}C \color{black}= \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2& 3 \\ -1 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 3 & 3 +12 \\ -1 & -4 \\ -4-4 & -6-16 \end{pmatrix} = \color{cyan} \begin{pmatrix} 5 & 15 \\ -1 & -4 \\ -8 & -22 \end{pmatrix} \color{black} =\color{red}~^{t}(CD)\)

Exemple

Cas des matrices non carrées (ou rectangulaires)

\(A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \color{blue} ~^{t} A = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix}\)

\(B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \\ 1 & - 4\end{pmatrix} \Rightarrow \color{blue} ~^{t}B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -4 \end{pmatrix}\)

Cas des matrices carrées : la transposition s'effectue par une symétrie des éléments par rapport à la diagonale principale.

\(C = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \color{blue} ~^{t}C = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\)

\(D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ -4 & 1 & 7 \\ 5 & -3 & 2\end{pmatrix} \Rightarrow \color{blue} ~^{t}D = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 5 \\ 0 & 1 & -3 \\ -2 & 7 & 2 \end{pmatrix}\)

Cas particuliers : Pour les matrices carrées symétriques ou diagonales, nous avons l'égalité \(\color{red} A =~^{t}~A\).

\(E = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \Rightarrow \color{blue} ~^{t}E = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} = E\)

\(F = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{pmatrix} \Rightarrow \color{blue} ~^{t}F = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} = F\)