Multiplication d'une matrice par un scalaire
Définition :
Le produit d'une matrice \(A\) par un scalaire \(a \in \mathbb{K}\), noté \(aA\), est la matrice obtenue en multipliant chaque élément \(a_{ij}\) de \(A\) par \(a\) :
\(C = aA \Leftrightarrow c_{ij} = aa_{ij}\)
Propriété :
La multiplication d'une matrice par un scalaire est une loi de composition externe vérifiant les propriétés :
\(\forall (\alpha, \beta) \in \mathbb{K}^{2}\) et \(\forall (A, B) \in M^{2}_{n, p} (\mathbb{K})\),
\(\alpha (A + B) = \alpha A + \alpha B\),
\((\alpha + \beta) A = \alpha A + \beta A\),
\(\alpha ( \beta A) = (a \beta) A\),
\(1 A = A\).
L'ensemble des matrices (\(n\), \(p\)) muni des deux lois (addition et multiplication par un scalaire) possède une structure d'espace vectoriel sur \(\mathbb{K}\) ( \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)).
Exemple :
Si \(A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 2 & 7 & 3 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 5 & -1 & 6 \\ -2 & 1 & -3 \end{pmatrix}\),
alors \(\color{blue} C \color{black} = 2A - 3B = \begin{pmatrix} 2 & 8 & -4 \\ 4 & 14 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 15 & -3 & 18 \\ -6 & 3 & -9 \end{pmatrix} = \color{blue} \begin{pmatrix} -13 & 11 & -22 \\ 10 & 11 & 15 \end{pmatrix}\)