Circuit LR
Partie
Question
Montrer que le circuit ci-dessous est un circuit du premier ordre, c'est à dire que les tensions d'entrée \(e(t)\) et de sortie \(s(t)\) sont liées par une équation du type:
\(\displaystyle{\tau\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt} + s(t) = e(t)}\)
où \(\tau\) est la constante de temps du circuit.
Exprimer \(\tau\) en fonction des valeurs des composants du circuit.
Aide simple
L'intensité est la même dans \(\mathrm L\) et \(\mathrm R\)
Aide détaillée
Aux bornes de \(\mathrm L\) : \(\displaystyle{u(t) = \mathrm{L.}\frac{\mathrm di}{\mathrm dt}}\)
Solution simple
\(\tau = \mathrm{L/R}\)
Solution détaillée
La tension \(e(t)\) est la somme des tensions aux bornes de \(\mathrm L\) et de \(\mathrm R\)
\(e(t) = u_\mathrm L + u_\mathrm R\)
Soit \(i(t)\) l'intensité du courant dans les deux dipôles :
\(\displaystyle{U_\mathrm L= \mathrm{L.}\frac{\mathrm di}{\mathrm dt}}\)
\(U_\mathrm R=\mathrm Ri(t)=s(t)\)
de la deuxième équation, on tire \(\displaystyle{i(t) = \frac{s(t)}{\mathrm R}}\)
qui, reporté dans la première, donne :
\(\displaystyle{U_\mathrm L= \frac{\mathrm L}{\mathrm R}\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}}\)
finalement :
\(\displaystyle{\begin{array}{lll}e(t)&=& \frac{\mathrm L}{\mathrm R}\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}+s(t)\\&=&\tau\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}+s(t)\end{array}}\)
le circuit est du premier ordre, et sa constante de temps est
\(\displaystyle{\tau=\frac{\mathrm L}{\mathrm R}}\)