Circuit CR
Partie
Question
Montrer que le circuit ci-dessous est un circuit du premier ordre, dans lequel la tensions d'entrée \(e(t)\) et la charge \(q(t)\) du condensateur sont liées par une équation du type:
\(\displaystyle{\tau\frac{\mathrm dq}{\mathrm dt} + q(t) = f(e(t))}\)
où \(\tau\) est la constante de temps du circuit.
Exprimer \(\tau\) en fonction des valeurs des composants du circuit.
Aide simple
L'intensité est la même dans \(\mathrm R\) et \(\mathrm C\)
Aide détaillée
L'intensité est due à la variation de charge du condensateur : \(i(t)=\mathrm dq /\mathrm dt\)
Solution simple
\(\tau=\mathrm{RC}\)
Solution détaillée
La tension \(e(t)\) est la somme des tensions aux bornes des deux dipôles :
\(e(t)=u_\mathrm C + u_\mathrm R\)
Soit \(q(t)\) la charge du condensateur et \(i(t)\) l'intensité du courant à travers les deux dipôles :
\(\displaystyle{u_\mathrm C=\frac{q(t)}{\mathrm C}}\)
\(u_\mathrm R=\mathrm Ri(t)\)
Le courant est dû aux variations de charge du condensateur :
\(\displaystyle{i(t) =\frac{\mathrm dq}{\mathrm dt}}\)
donc :
\(\displaystyle{e(t) =\frac{q(t)}{\mathrm C}+\mathrm R\frac{\mathrm dq}{\mathrm dt}}\)
en multipliant par \(\mathrm C\) :
\(\displaystyle{\mathrm Ce(t) =q(t)+\mathrm R\mathrm C\frac{\mathrm dq}{\mathrm dt}=q(t)+\tau\frac{\mathrm dq}{\mathrm dt}}\)
Le circuit est du premier ordre, et sa constante de temps est :
\(\tau =\mathrm{RC}\)