Circuit RC
Partie
Question
Montrer que le circuit ci-dessous est un circuit du premier ordre, c'est à dire que les tensions d'entrée \(e(t)\) et de sortie \(s(t)\) sont liées par une équation du type:
\(\displaystyle{\tau\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt} + s(t) = e(t)}\)
où \(\tau\) est la constante de temps du circuit.
Exprimer \(\tau\) en fonction des valeurs des composants du circuit.
Aide simple
L'intensité est la même dans \(\mathrm R\) et \(\mathrm C\)
Solution simple
\(\tau=\mathrm{RC}\)
Solution détaillée
La tension \(e(t)\) est la somme des tensions aux bornes des deux dipôles :
\(e(t) = u_\mathrm R + u_\mathrm C\)
Soit \(i(t)\) l'intensité du courant à travers les deux dipôles et \(q(t)\) la charge du condensateur
\(u_\mathrm R=\mathrm Ri(t)\)
\(\displaystyle{u_{\mathrm C}= \frac{1}{\mathrm C}q(t) = s(t)}\)
de la valeur de \(u_\mathrm C\) on tire :
\(q(t) = \mathrm Cs(t)\)
comme le courant est du aux variations de charge de \(\mathrm C\) :
\(\displaystyle{i(t) = \frac{\mathrm dq}{\mathrm dt} = \mathrm C\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}}\)
finalement :
\(\displaystyle{\begin{array}{lll}e(t)&=&\mathrm{RC}\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}+s(t)\\&=&\tau\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}+s(t)\end{array}}\)
Le circuit est du premier ordre, et sa constante de temps est :
\(\tau =\mathrm{RC}\)