Circuit RC [Circuits du premier ordre]

Circuit RC

Partie

Question

Montrer que le circuit ci-dessous est un circuit du premier ordre, c'est à dire que les tensions d'entrée $e(t)$ et de sortie $s(t)$ sont liées par une équation du type:

$\displaystyle{\tau\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt} + s(t) = e(t)}$

où $\tau$ est la constante de temps du circuit.

Exprimer $\tau$ en fonction des valeurs des composants du circuit.

Aide simple

L'intensité est la même dans $\mathrm R$ et $\mathrm C$

Solution simple

$\tau=\mathrm{RC}$

Solution détaillée

La tension $e(t)$ est la somme des tensions aux bornes des deux dipôles :

$e(t) = u_\mathrm R + u_\mathrm C$

Soit $i(t)$ l'intensité du courant à travers les deux dipôles et $q(t)$ la charge du condensateur

$u_\mathrm R=\mathrm Ri(t)$

$\displaystyle{u_{\mathrm C}= \frac{1}{\mathrm C}q(t) = s(t)}$

de la valeur de $u_\mathrm C$ on tire :

$q(t) = \mathrm Cs(t)$

comme le courant est du aux variations de charge de $\mathrm C$ :

$\displaystyle{i(t) = \frac{\mathrm dq}{\mathrm dt} = \mathrm C\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}}$

finalement :

$\displaystyle{\begin{array}{lll}e(t)&=&\mathrm{RC}\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}+s(t)\\&=&\tau\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}+s(t)\end{array}}$

Le circuit est du premier ordre, et sa constante de temps est :

$\tau =\mathrm{RC}$