Réponse à une rampe
Partie
Question
Soit le circuit ci-contre, dans lequel \(e(t)\) a l'allure ci-dessous :
On donne : \(\mathrm R=\mathrm{50 k}\Omega\), \(\mathrm C=200\mathrm{ pF}\), \(\mathrm E_0=5\mathrm{ V}\), \(\mathrm e(\mathrm t)=10^3\mathrm{ V.s}^{-1}\).
Donner l'équation de \(s(t)\). Au bout de combien de temps la partie transitoire de la réponse est-elle inférieure à \(\mathrm{0,01 mV}\)?
Quelle valeur faudrait-il donner à \(\mathrm E_\mathrm o\) pour que \(s(t)\) soit parfaitement linéaire?
Aide simple
L'intensité du courant est la même à travers les deux dipôles ; dans la branche où est \(\mathrm C\), elle est due à la variation de charge du condensateur : \(i(t) = \mathrm dq/\mathrm dt\)
Aide détaillée
Chercher une solution particulière variant linéairement dans le temps
Solution simple
1. \(s(t)=(\mathrm E_\mathrm o+\mathrm{at})\left(1\mathrm e^{{-t}/{\tau}}\right)+v(t-t)\), avec \(\mathrm t=\mathrm{RC}=\mathrm{3 ms}\)
2. \(\mathrm t\)
3. \(\mathrm E_\mathrm o=-vt=-\mathrm{0,3 V}\)
Solution détaillée
Aux bornes du condensateur, la tension \(s(t)\) est solution de :
\(\displaystyle{s(t)+\tau\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}=e(t)=vt}\) (avec \(\tau=\mathrm{RC}\))
détail du calcul : voir circuit RC
Cette équation différentielle admet pour solution :
\(s(t)=\mathrm{Ae}^{-t/\tau}+\mathrm{SP}\)
où \(\mathrm{SP}\) est une solution particulière de même type que \(e(t)\); comme \(e(t)=vt\), on cherche une solution particulière qui soit également un polynôme du premier degré en \(t\):
\(s(t)=\mathrm bt+\mathrm c\)
alors : \(\mathrm ds/\mathrm dt=\mathrm b\)
en remplaçant \(s(t)\) et sa dérivée par leurs expressions, il vient
\(\mathrm bt+\mathrm c+\tau\mathrm b=v.t\)
d'où par identification des termes de même degré
\(\mathrm b=v\)
\(\mathrm c+\tau\mathrm b=0\)
\(\mathrm c=-\mathrm b\tau=-v\tau\)
la solution particulière est donc :
\(s(t)=v(t-\tau)\)
et la solution générale
\(s(t)=\mathrm{Ae}^{-t/\tau}+v(t-\tau)\)
Le premier terme tend vers zéro quand \(t\) tend vers l'infini. Le second est une variation linéaire décalée de \(\tau\) par rapport au signal d'entrée. Pour déterminer \(\mathrm A\), on utilise les conditions initiales :
à \(t=0\), \(s(t)=\mathrm E_0\)
\(\mathrm E_0=\mathrm A-v\tau\)
et :
\(s(t)=(\mathrm E_0+v\tau)\mathrm e^{-t/\tau}+v(t-\tau)\)
numériquement :
\(s(t)=\mathrm{5,3}\mathrm e^{-10^3t/3}+10^2(t-3.10^{-3})\)
le premier terme devient inférieur à \(\mathrm{0,01 V}\) quand :
\(\mathrm{5,3}\mathrm e^{-10^3t/3}\le \mathrm{0,01}\)
\(\mathrm e^{10^3t/3}\ge 530\)
\(\displaystyle{\frac{10^3}3t\ge \ln\mathrm{ 530}}\)
\(\displaystyle{t\ge 3\ln\frac{530}{10^3}=\mathrm{18,8 ms}}\)
Il serait nul si
\(\mathrm E_\mathrm o+v\tau=0\)
\(\mathrm E_\mathrm o=-v\tau=-\mathrm{0,3 V}\)
