Circuits du premier ordre

$\displaystyle{\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}(\mathrm C_1+\mathrm C_2)+s\left(\frac{1}{\mathrm R_1}+\frac{1}{\mathrm R_2}\right)=\mathrm C_1\frac{\mathrm de}{\mathrm dt}+\frac e{\mathrm R_1}}$

L'application de la loi aux nœuds donne :

$i=i_1+i_2=i_3+i_4$ $(1)$

L'application de la loi aux mailles donne :

$e(t)=\mathrm Ri_2+s(t)$

d'où :$\displaystyle{i_2=\frac{e(t)-s(t)}{\mathrm R_1}}$

La tension est la même aux bornes de $\mathrm R_1$ et $\mathrm C_1$:

$\displaystyle{\mathrm R_1i_2=\frac{q_1}{\mathrm C_1}}$ où $q_1$ est la charge de $\mathrm C$ ???

d'où :

$q_1=\mathrm R_1\mathrm C_1i_2$

l'intensité $i_1$ est liée aux variations de charge de $\mathrm C_1$

$\displaystyle{i_1=\frac{\mathrm dq_1}{\mathrm dt}=\mathrm R_1\mathrm C_1\frac{\mathrm di_Z}{\mathrm dt}}$

en remplaçant $i_Z$ par son expression

$\displaystyle{i_1=\mathrm C_1\left(\frac{\mathrm de}{\mathrm dt}-\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}\right)}$

à la sortie :

$\displaystyle{s(t)=\mathrm R_2i_4\Rightarrow i_4=\frac{s(t)}{\mathrm R_2}}$

et comme :

$\displaystyle{\mathrm R_2i_4=\frac{q_2}{\mathrm C_2}}$

$\displaystyle{i_3=\frac{\mathrm dq_{Z}}{\mathrm dt}=\mathrm R_2\mathrm C_2\frac{\mathrm di_4}{\mathrm dt}=\mathrm C\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}}$

En remplaçant les intensités par leurs expressions en fonction de $e(t)$ et $s(t)$ dans l'équation $(1)$:

$\displaystyle{\mathrm C_1\left(\frac{\mathrm de}{\mathrm dt}-\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}\right)+\frac{e(t)-s(t)}{\mathrm R_1}=\mathrm C_2\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}+\frac{s(t)}{\mathrm R_2}}$

en séparant $e$ et $s$:

$\displaystyle{(\mathrm C_1+\mathrm C_Z)\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}+\left(\frac{1}{\mathrm R_1}+\frac{1}{\mathrm R_2}\right)s(t)=\mathrm C_1\frac{\mathrm de}{\mathrm dt}+\frac{e(t)}{\mathrm R_1}}$

$\displaystyle{s(t)=\mathrm a\left(\tau-\frac{\mathrm R_1.\mathrm R_2}{\mathrm R_1+\mathrm R_2}\mathrm C_1\right)\mathrm e^{{-t}/{\tau}}+\mathrm a\frac{\mathrm R_2}{\mathrm R_1+\mathrm R_2}(t+\mathrm R_1\mathrm C_1-\tau)}$

1. $(R_1C_1-\tau)>0$

2. $(R_1C_1-\tau)<0$

3. $(R_1C_1-\tau)=0$

Si on pose $\mathrm C=\mathrm C_1+\mathrm C_2$, $\displaystyle{\frac1{\mathrm R}=\frac1{\mathrm R_1}+\frac1{\mathrm R_2}}$

Il vient

$\displaystyle{\tau\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}+s(t)=\mathrm R\mathrm C_1\frac{\mathrm de}{\mathrm dt}+\frac{\mathrm R}{\mathrm R_1}e(t)}$

avec $\tau=\mathrm{RC}$

Comme $e(t)=\mathrm at$, alors $\displaystyle{\frac{\mathrm de}{\mathrm dt}=\mathrm a}$

Et l'équation différentielle donnant $s(t)$ est :

$\displaystyle{\tau\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}+s(t)=\mathrm R\mathrm C_1\mathrm a+\frac{\mathrm{Ra}t}{\mathrm R_1}}$

dont la solution est

$s(t)=\mathrm{Ae}^{-t/\tau}+\mathrm{SP}$

où $\mathrm{S.P}$ est une solution particulière de l'équation complète ; comme le second membre est un polynôme du premier degré en $t$, on cherche une solution sous la forme :

$s(t)=\mathrm bt+\mathrm c$, donc $\displaystyle{\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}=\mathrm b}$,

ce qui donne

$\displaystyle{\mathrm b\tau+\mathrm bt+\mathrm c=\mathrm R\mathrm C_1\mathrm a+\frac{\mathrm R}{\mathrm R_1}\mathrm at}$

en identifiant terme à terme :

$\displaystyle{\mathrm b=\mathrm a\frac{\mathrm R}{\mathrm R_1}}$

$\mathrm b\tau+\mathrm c=\mathrm R\mathrm C_1\mathrm a\Leftrightarrow \mathrm a\tau+\mathrm c=\mathrm R\mathrm C_1\mathrm a$

$\mathrm c=\mathrm a(\mathrm R\mathrm C_1-\tau)$

d'où la solution particulière

$\displaystyle{s(t)=\mathrm a\frac{\mathrm R}{\mathrm R_1}t+\mathrm a(\mathrm R\mathrm C_1-\tau)}$

et la solution générale

$\displaystyle{s(t)=\mathrm{Ae}^{-t/\tau}+\mathrm a\frac{\mathrm R}{\mathrm R_1}(t-\tau)+\mathrm a(\mathrm R\mathrm C_1-\tau)}$

comme jusqu'à $t=0$, $e=0$, on a aussi ; et puisque la charge d'un condensateur varie de façon continue :

$s(0)=0=\mathrm A+\mathrm a(\mathrm R\mathrm C_1-\tau)$

d'où $\mathrm A=\mathrm a(\tau-\mathrm R\mathrm C_1)$

finalement, en fonction de $\mathrm R_1$, $\mathrm R_2$, $\mathrm C_1$, $\mathrm C_2$:

$\displaystyle{s(t)=\mathrm a\left(\tau-\frac{\mathrm R_1\mathrm R_2}{\mathrm R_1+\mathrm R_2}\mathrm C_1\right)\mathrm e^{-t/\tau}+\mathrm a\frac{\mathrm R_2}{\mathrm R_1+\mathrm R_2}(t+\mathrm R_1\mathrm C_1-\tau)}$

Le premier terme tend vers zéro quand $t$ tend vers l'infini, le second est une droite de pente $\displaystyle{\mathrm a\frac{\mathrm R_2}{\mathrm R_1+\mathrm R_2}}$, qui coupe l'axe des $t$ pour $t=\tau-\mathrm R_1\mathrm C_1$

Application numérique : $\displaystyle{\mathrm a\frac{\mathrm R_2}{\mathrm R_1+\mathrm R_2}=\frac{\mathrm a}{10}}$;

1. $\tau-R_1C_1=-\mathrm{6,3 }\mu\mathrm s$

2. $\tau-R_1C_1=-\mathrm{9,9 }\mu\mathrm s$

3. $\tau-R_1C_1=0$

Le signal est divisé par $10$ sans déformation. C'est le principe des sondes d'oscilloscope.