Circuits du premier ordre

$\displaystyle{s(t)=\mathrm E\left(1-\mathrm e^{-\frac{t}{\tau}}\right)}$

1) Pour ce circuit, les tensions d'entrée et sortie sont liées par l'équation différentielle :

$\displaystyle{e(t)=\tau\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}+s(t)}$ où $\tau=\mathrm{RC}$

( détail du calcul : cf circuit $\mathrm{RC}$)

L'équation sans second membre s'écrit :

$\displaystyle{\tau\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}+s(t)=0}$

Elle a pour solution :

$s(t)=\mathrm{Ae}^{-t/\tau}$

La solution complète s'obtient en ajoutant une solution particulière de l'équation avec second membre.

Comme pour $t>0$, $e(t)=\mathrm E=cste$, on cherche une solution constante.

$\displaystyle{\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}}$ s'annule donc, et la solution particulière est $s(t)=\mathrm E$, d'où la solution générale $s(t)=\mathrm{Ae}^{-t/\tau}+\mathrm E$

pour $t\le0$, comme $e(t)=0$, $s(t)=0$

$0=\mathrm A+\mathrm E \Leftrightarrow \mathrm A=-\mathrm E$

finalement : $\displaystyle{s(t)=\mathrm E\left(1-\mathrm e^{-\frac{t}{\tau}}\right)}$

$\mathrm{6,3 V}$ ; $\mathrm{23 ms}$; $\mathrm{30 ms}$; $\mathrm{46 ms}$

$\tau=\mathrm{RC}=10^4.10^{-6}=10^{-2}\mathrm{s}=\mathrm{10 ms}$

pour $t=\mathrm{10 ms}=\tau$

$\displaystyle{s(t)=10\left(1-\mathrm e^{-1}\right)=\mathrm{6,3 V}}$

pour $t$ quelconque ($t$ en $s$)

$\displaystyle{s(t)=10\left(1-\mathrm e^{-100t}\right)}$

donc,

si $s(t)=\mathrm{9 V}$, $\mathrm e^{-100t}=\mathrm{0,1}$, $t=\mathrm{23 ms}$

si $s(t)=\mathrm{9,5 V}$, $\mathrm e^{-100t}=\mathrm{0,05}$, $t=\mathrm{30 ms}$

si $s(t)=\mathrm{9,9 V}$, $\mathrm e^{-100t}=\mathrm{0,01}$, $t=\mathrm{46 ms}$

$T\ge\mathrm{92 ms}$

il faut que $\displaystyle{t=\frac {T}{2}}$, $s(t)\ge\mathrm{99\% }E$ pour $\displaystyle{\mathrm e^{-\frac{T}{2}\tau}\le\frac1{100}}$ donc, ce qui donne $T\ge\mathrm{92 ms}$