Introduction
On considère une suite \((u_n)\) définie par la donnée de son premier terme \(u_0\) et une relation de récurrence de la forme
\(\displaystyle{u_{n+1}=\phi(u_n)}\)
où \(\phi\) est une fonction de variable réelle.
Dans un premier temps on étudie certaines des propriétés de la suite \((u_n)\) liées à des propriétés de la fonction \(\phi\) comme la monotonie ou la continuité. On est parfois amené à utiliser des théorèmes concernant la continuité des fonctions ou des propriétés de leur dérivée qui seront vus dans la suite du cours. Enfin on se réfère fréquemment au graphe \((C)\) de la fonction \(\phi\) en particulier dans les exemples où l'étude graphique constitue une approche de l'étude théorique.
Les exemples étudiés illustrent les situations les plus fréquentes (dans les problèmes!) et non un catalogue de toutes les situations possibles qui peuvent être très complexes.
Pour que la suite \((u_n)\) soit définie il faut et il suffit que, pour tout entier \(n, u_n\) appartienne à l'ensemble de définition de \(\phi\) .
D'où l'intérêt, pour l'étude de \((u_n)\) , de l'existence d'intervalles stables par \(\phi\) c'est à dire contenus dans l'ensemble de définition et tels qu'on ait \(\phi(I)\subset I\) . En effet une récurrence immédiate montre alors que si \(u_0\) appartient à \(I, u_n\) appartient à \(I\) pour tout entier \(n\). Ainsi, dans le cas de la suite \(\mathcal U\) définie au début. l'intervalle [1,2] est stable par la fonction \(\phi\) .
Dans tout ce paragraphe nous considérerons une fonction \(\phi\) et un intervalle \(I\) stable par \(\phi\).