Cas où phi est monotone sur I

On suppose que est une application monotone de dans .

Proposition

Si la fonction est croissante sur , alors la suite est monotone.

Preuve

Effectuer la différence de deux termes consécutifs.

Les différences et sont de même signe, on a en effet les implications :

La suite est donc monotone.

Par conséquent si la suite est croissante, si la suite est décroissante.

De telles suites s'étudient facilement par application du théorème des suites monotones.

Proposition

Si la fonction est décroissante sur , alors la suite n'est pas monotone, les suites et sont monotones et de sens de variation contraires.

Preuve

Considérer la fonction .

Les différences et sont de signe contraire, on a en effet les implications

La suite n'est pas monotone, mais en considérant la fonction on constate que celle ci est croissante, en effet :

On pose alors  et ;

et

les suites  et sont monotones.

D'autre part , ainsi si est croissante est décroissante et si est décroissante est croissante. Le sens de variation de chacune des suites est donné en comparant par exemple les termes et .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
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