Cas où le graphe de phi est au dessous (resp. dessus) de la bissectrice

L'hypothèse se traduit par le fait que \((C)\) se situe "au-dessus" (resp "au-dessous") de la première bissectrice

Soit la fonction \(\phi\) définie par \(\phi(x)=\sqrt{x+2}\)

Sur \([0,2]\) \(\phi(x)\geq x\)

Sur \([2,+\infty[\) \(\phi(x)\leq x\)

Proposition

Si \(\displaystyle{\forall x\in I,\phi(x)\geq x}\) (resp. \(\displaystyle{\forall x\in I,\phi(x)\leq x}\)) alors la suite \((u_n)\) est donc croissante (resp décroissante).

Preuve

Pour tout \(n\in\mathbb N\) on a :

\(\displaystyle{u_{n+1}=\phi(u_n)\geq u_n\quad}\) (resp \(\displaystyle{u_{n+1}=\phi(u_n)\leq u_n}\)),

la suite \((u_n)\) est donc croissante (resp décroissante).