Cas où la fonction phi est dérivable sur I et sa dérivée est bornée par un réel strictement inférieur à 1
Proposition

Si et si la fonction a un point fixe alors la suite est convergente et a pour limite .

Remarque

Outre la preuve de la convergence de la suite on évalue la rapidité de cette convergence qu'on peut comparer à celle d'une suite géométrique de raison .

Preuve

C'est une application de l'inégalité des accroissements finis.

D'après l'inégalité des accroissements finis, on a :

.

Une telle application est dite contractante.

Supposons que la fonction ait un point fixe , ce point fixe est alors unique, en effet s'il en existait un autre , on aurait alors :

,

d'où la contradiction.

On a également, pour tout entier ,

.

On en déduit :

.

La suite est donc convergente et a pour limite .

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