Limite de la suite et point fixe de la fonction

Théorème

Si \((u_n)\) est une suite convergente d'éléments d'un intervalle \(I\) de \(\mathbb R\) dont la limite \(l\) appartient à \(I\) et si la fonction \(\phi\) est continue en \(l\), la suite \(\phi(u_n)\) est convergente et a pour limite \(\phi(l)\).

Preuve

Voir le chapitre Fonctions continues.

On déduit de ce théorème que si une suite vérifiant la relation de récurrence \(\displaystyle{u_{n+1}=\phi(u_n)}\) est convergente et a pour limite \(l\) et si \(\phi\) est continue en \(l\), on a alors :

\(\displaystyle{l=\phi(l)}\)

Définition

Un tel point \(l\) est dit point fixe de \(\phi\).

Si la fonction continue \(\phi\) n'a pas de point fixe alors une suite, qui vérifie la relation \(\displaystyle{u_{n+1}=\phi(u_n)}\) , ne peut avoir de limite ; en revanche si \(\phi\) a un point fixe cela n'entraîne pas que la suite \((u_n)\) admette ce point comme limite (si \(\phi\) a plusieurs points fixes,\((u_n)\) ne peut avoir comme limite que l'un d'eux).

En ce qui concerne le graphe de la fonction \(\phi\), un point fixe, de coordonnées \((l,l)\), est point d'intersection du graphe et de la première bissectrice.

Exemple

\(\left\{\begin{array}{ll}u_0=\frac{3}{2} \\u_{n+1}=\cos(u_n) &\forall n\in\mathbb N\end{array}\right.\)