Limite de la suite et point fixe de la fonction
Théorème

Si est une suite convergente d'éléments d'un intervalle de dont la limite appartient à et si la fonction est continue en , la suite est convergente et a pour limite .

Preuve

Voir le chapitre Fonctions continues.

On déduit de ce théorème que si une suite vérifiant la relation de récurrence est convergente et a pour limite et si est continue en , on a alors :

Définition

Un tel point est dit point fixe de .

Si la fonction continue n'a pas de point fixe alors une suite, qui vérifie la relation , ne peut avoir de limite ; en revanche si a un point fixe cela n'entraîne pas que la suite admette ce point comme limite (si a plusieurs points fixes, ne peut avoir comme limite que l'un d'eux).

En ce qui concerne le graphe de la fonction , un point fixe, de coordonnées , est point d'intersection du graphe et de la première bissectrice.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)