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Application dérivée

Dans tout le paragraphe on notera un intervalle de non vide ni réduit à un point.

Définition

Soit une application de dans , on dit que est dérivable sur si est dérivable en tout point de . On note alors :

est l'application dérivée de ou plus simplement la dérivée de .

Au lieu de on utilise également la notation différentielle :

ou

Définition

Si la fonction est continue sur on dit que est continûment dérivable sur ou de classe sur . On note l'ensemble des fonctions de classe sur .

Compte-tenu de ce qui a été vu à propos des fonctions dérivables en un point, on déduit immédiatement de la définition précédente que les polynômes, les fonctions sinus, cosinus et l'exponentielle sont de classe sur , ainsi que les fonctions rationnelles sur tout intervalle qui ne contient pas de pôle (zéro du dénominateur), les fonctions logarithme et racine carrée sur , la fonction tangente sur .

Exemple : Exemple 1

Soit la fonction définie sur par :

et

On a , d'où est dérivable en et .

Mais pour tout non nul, est dérivable et . Le premier terme tend vers et le second n'a pas de limite quand tend vers . La fonction n'est pas continue en . La fonction est dérivable sur mais elle n'est pas de classe sur .

Exemple : Exemple 2

Soit la fonction définie sur par :

et ;

La fonction est continue en car .

(on pose , on est alors ramené à étudier la fonction quand tend vers et , on fera de même pour les autres limites).

Pour tout non nul la fonction est dérivable et ; la fonction est donc continue en tout point de .

D'autre part : d'où . La fonction est donc dérivable à l'origine et .

La fonction , dérivée de , est continue en car . La fonction est donc de classe sur .

Remarque

Il ne faut pas s'étonner du segment de droite autour du point de coordonnées , le graphe est "très" aplati (plus que pour toute fonction polynomiale) en .

Légende :
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