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Théorème de Rolle

Dans tout ce paragraphe on considérera un intervalle fermé, borné .

Théorème : Rolle

Soit une application de l'intervalle dans vérifiant les conditions suivantes :

  1. est continue sur ,

  2. est dérivable sur ,

Alors il existe tel que .

Complément : Interprétation

Grâce aux hypothèses, le graphe de la fonction admet une tangente en tout point de et il joint deux points qui ont même ordonnée, le théorème affirme qu'il existe alors au moins un point à tangente horizontale.

Remarquez que dans l'exemple ci-dessus , la fonction est bien continue sur et dérivable sur mais n'est dérivable ni en ni en .

Preuve

La démonstration consiste à montrer que la fonction admet un extremum local en un point de .

Si , on en déduit : .

Sinon, d’après la condition (1) la fonction, étant continue, est bornée, on pose : et

On a donc . Une, au moins, des inégalités strictes : ou est vérifiée.

On suppose qu’on a .

La fonction étant continue sur , il existe tel que , et appartient à car et . La fonction admet en un maximum local. La fonction étant dérivable sur , on en déduit que (cf "extremum local et annulation de la dérivée" dans le module "Nombres réels, suites et fonctions").

Remarque : Remarque 1

Chacune des hypothèses est nécessaire :

les trois conditions

  1. est continue sur

  2. est dérivable sur et

sont indispensables pour obtenir la conclusion ; les deux contre-exemples suivants le montrent pour les conditions 1 et 2, quant à la condition 3 sa nécessité est évidente.

a. (continuité)

Soit et .

b.(dérivabilité)

Soit .

Remarque : Remarque 2

Le réel n'est pas nécessairement unique comme le montre l'exemple de la fonction sinus sur on a .

Remarque : Remarque 3

Application : les zéros de séparent les zéros de .

Le théorème énoncé par Rolle comporte la condition plus restrictive , cette dernière égalité n'est pas nécessaire à la démonstration mais ce théorème est souvent utilisé dans des problèmes de séparation des racines : il exprime en effet que, pour une fonction dérivable, les zéros de séparent les zéros de , c'est-à-dire qu'entre deux zéros de il y a au moins un zéro de .

Exemple. Soit un polynôme à coefficients réels de degré strictement positif ayant toutes ses racines réelles et distinctes, alors le polynôme dérivé a également toutes ses racines réelles et distinctes.

On note les racines de , en appliquant le théorème de Rolle à la fonction polynôme sur chacun des intervalles , on obtient que le polynôme dérivé a au moins racines réelles distinctes. Son degré étant , il en a au plus . D'où la conclusion.

(Le graphe tracé est celui d'un polynôme de Tchebicheff et de sa dérivée).

Légende :
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