Mathématiques
Précédent
Suivant
Inégalité des accroissements finis

Du théorème des accroissements finis sous sa seconde forme on déduit immédiatement l'inégalité des accroissements finis. Celle-ci est plus générale que le théorème des accroissements finis, dans la mesure où elle s'étend à d'autres fonctions que les fonctions numériques de variable réelle, par exemple les fonctions de dans ou de dans .

De plus, dans le théorème des accroissements finis, le point qui intervient n'est pas connu, tandis que, à partir d'informations générales sur la dérivée on peut tirer des conclusions sur la différence pour tout couple .

Théorème

Soit une fonction dérivable sur un intervalle . On suppose qu'il existe un réel tel que, pour tout . Alors :

La fonction est alors lipschitzienne de rapport , et dans le cas où elle est contractante. Les applications contractantes, comme nous l'avons déjà vu, ont un rôle très important dans l'étude des suites.

La preuve est une conséquence immédiate du théorème des accroissements finis

Application à l'étude d'une suite
Application au prolongement de la dérivée
Applications de l'inégalité des accroissements finis au calcul d'erreur
Théorème du point fixe
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)