Théorème des accroissements finis
Théorème :
Soit une application de l'intervalle [a,b] dans \mathbf R vérifiant les conditions suivantes :
f est continue sur [a,b],
f est dérivable sur ]a,b[.
Alors il existe c\in]a,b[ tel que f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)
Complément : Interprétation
Le graphe de la fonction admet une tangente en tout point de ]a,b[; il existe alors un point tel que la tangente en ce point au graphe est parallèle à la droite passant par les points (a,f(a)),(b,f(b)) dont la pente est \displaystyle{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}.
On remarque que le théorème des accroissements finis revient au théorème de Rolle dans le repère (\mathcal{OX}, \mathcal{OY}).
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Preuve :
On considère la fonction \phi définie sur [a,b] par :
\displaystyle{\phi(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)}.
La fonction \phi est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[, car f l'est , elle vérifie \phi(a)=\phi(b)=0 elle satisfait donc aux hypothèses du théorème de Rolle : il existe c\in]a,b[ tel que \phi'(c)=0 d'où \displaystyle{f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}.
On peut énoncer le théorème des accroissements finis sous la forme suivante (\mathcal I n'est plus nécessairement fermé, borné)
Théorème :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle \mathcal I et x_0 un point de \mathcal I ; alors, pour tout réel h tel que x_0+h\in\mathcal I, il existe un nombre \theta_h\in]0,1[ tel que :
\displaystyle{f(x_0+h)-f(x_0)=hf'(x_0+\theta_hh)}
Preuve :
Pour h > 0 on prend a=x_0, b=x_0+h,\theta_h=\frac{c-a}{b-a}\textrm{ et }\theta_h\in]0,1[,
pour h < 0 on prend a=x_0+h, b=x_0,\theta_h=\frac{b-c}{b-a}\textrm{ et }\theta_h\in]0,1[.