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Théorème des accroissements finis
Théorème

Soit une application de l'intervalle dans vérifiant les conditions suivantes :

  1. est continue sur ,

  2. est dérivable sur .

Alors il existe tel que

Complément : Interprétation

Le graphe de la fonction admet une tangente en tout point de ; il existe alors un point tel que la tangente en ce point au graphe est parallèle à la droite passant par les points dont la pente est .

On remarque que le théorème des accroissements finis revient au théorème de Rolle dans le repère .

Preuve

On considère la fonction définie sur par :

.

La fonction est continue sur , dérivable sur , car l'est , elle vérifie elle satisfait donc aux hypothèses du théorème de Rolle : il existe tel que d'où .

On peut énoncer le théorème des accroissements finis sous la forme suivante ( n'est plus nécessairement fermé, borné)

Théorème

Soit une fonction dérivable sur un intervalle et un point de ; alors, pour tout réel tel que , il existe un nombre tel que :

Preuve

Pour on prend ,

pour on prend .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
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