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Dérivées successives

Si est dérivable sur et si la fonction est dérivable sur alors la fonction dérivée de est la dérivée seconde de on la note . Plus généralement,

Définition

Si est un entier positif ou nul, on définit, si elle existe, la dérivée n-ième de , en posant par convention :

, et, pour tout entier

On note encore

Définition

Si la dérivée d'ordre de existe, on dit que est fois dérivable sur , si est continue sur on dit que est de classe sur . Si est, pour tout entier fois dérivable, on dit que est indéfiniment dérivable sur ou de classe sur .

Exemple

Compte-tenu des différents théorèmes, en particulier des théorèmes algébriques, les polynômes, les fonctions sinus, cosinus et l'exponentielle sont de classe sur , ainsi que les fonctions rationnelles sur tout intervalle qui ne contient pas de pôle (zéro du dénominateur), les fonctions logarithme et racine carrée sur , la fonction tangente sur .

Théorème

Si et sont des fonctions fois dérivables sur , alors la fonction est fois dérivable sur et :

Preuve

La démonstration se fait par récurrence sur . La formule est vraie pour ; en la supposant vraie à l'ordre , en dérivant chaque terme de la somme et en utilisant la formule de la dérivée du produit et les relations :

on montre que la formule est vraie à l'ordre .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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