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Application à l'étude de la variation des fonctions
Théorème

Soit une fonction dérivable sur un intervalle  :

  • a. est constante si et seulement si :

  • b. est croissante (resp décroissante) sur si et seulement si : (resp )

  • c. Si (resp. )

alors est strictement croissante (resp décroissante sur ).

Preuve

Les parties directes concernant les conditions a et b sont une conséquence immédiate de la définition de la dérivée.

Si est constante sur alors : d'où .

Si est croissante sur alors : d'où .

En ce qui concerne les parties réciproques des conditions a et b et la condition c (les plus intéressantes puisque ce sont elles qui sont utilisées pour étudier la variation des fonctions) ce sont des conséquences du théorème des accroissements finis.

On a pour tout , vérifiant :

On en déduit :

Si alors est constante sur .

Si alors est croissante sur .

Si alors est strictement croissante sur .

Attention

pour la condition c il s'agit uniquement d'une condition suffisante comme le montre le contre exemple de la fonction strictement croissante sur et qui vérifie .

Légende :
Apprendre
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S'exercer
Observer
Simuler
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