Théorèmes algébriques
Théorème : Opérations algébriques
Si \(f\) et \(g\) sont dérivables (resp de classe \(\mathcal C^1\)) sur \(\mathcal I\), alors \(f + g, fg\) et, si \(g\) ne s'annule pas sur \(\mathcal I, f/g\) sont dérivables (resp de classe \(\mathcal C^1\)) sur \(\mathcal I\) et l'on a :
\(\displaystyle{\begin{array}{lll}(f+g)'&=&f'+g',\\(fg)'&=&f'g+fg',\\ \left(\frac{f}{g}\right)'&=&\frac{f'g-fg'}{g^2}\end{array}}\)
Preuve :
Conséquence immédiate des théorèmes sur les fonctions dérivables en un point.
On remarque que l'ensemble des fonctions réelles dérivables (resp de classe \(\mathcal C^1\)) sur \(\mathcal I\) est un sous espace vectoriel de l'espace vectoriel \(\mathcal F(\mathcal I,\mathbf R)\) et que l'application de cet ensemble (resp \(\mathcal C^1(\mathcal I,\mathbf R)\)), dans \(\mathcal F(\mathcal I,\mathbf R)\) (resp\( \mathcal C(\mathcal I,\mathbf R)\)) \(f\mapsto f'\) est une application linéaire.
Théorème : Composition des applications
Soit \(f\) et \(g\) des fonctions dérivables respectivement sur des intervalles \(\mathcal I\) et\( \mathcal J\) tels que \(f(I) \subset J\), la fonction \(g\circ f\) est dérivable sur \(\mathcal I\) et l'on a :
\((g\circ f)'=(g'\circ f)f'\)
Preuve :
Conséquence immédiate des théorèmes sur les fonctions dérivables en un point.