Adaptation en puissance

Partie

Question

Un générateur de f.é.m. \(12 \textrm{ V}\) et de résistance interne \(30 \;\Omega\) alimente un conducteur ohmique de résistance variable.

  1.  Calculer la valeur à donner pour que la puissance fournie par le générateur soit maximale

  2.  Quelle puissance aurait-on pour une résistance deux fois plus petite ? une résistance double ?

Aide simple

Question 1 :

Le générateur et le conducteur ohmique :

  • ont les mêmes bornes

  • forment un circuit fermé sans dérivation

Question 2 :

Ultiliser l'expression \(P(R)\) obtenue à la question 1

Aide détaillée

Question 1 :

Le générateur et le conducteur ohmique :

  • ont les mêmes bornes

  • forment un circuit fermé sans dérivation

Ils ont donc la même tension aux bornes et sont traversés par le même courant. Soit \(E\) la f.é.m.du générateur, \(r\) sa résistance interne, \(R\) la résistance du conducteur ohmique. Cette tension et ce courant peuvent s'exprimer en fonction de \(E, r, R\).

\(E \textrm{ et } r\) sont des constantes : la puissance dissipée dans le conducteur ohmique est donc une fonction de \(R, P(R)\). L'étude de la dérivée\( \displaystyle{\frac{dP}{dR}}\)permet de trouver le maximum s'il existe.

Aide à la lecture

Question 1 :

Point de fonctionnement, dérivée d'une fonction.

Solution simple
  1. \(R = 30\;\Omega\)

  2. \(P = 1,07 \textrm{ W}\)

Solution détaillée

Question 1 :

Le générateur et le conducteur ohmique :

  • ont les mêmes bornes

  • forment un circuit fermé sans dérivation

Ils ont donc la même tension aux bornes et sont traversés par le même courant. Soit\( E\) la f.é.m.du générateur,\( r\) sa résistance interne, \(R\) la résistance du conducteur ohmique. Cette tension et ce courant peuvent s'exprimer en fonction de \(E, r, R\).

\(E \textrm{ et }r\) sont des constantes : la puissance dissipée dans le conducteur ohmique est donc une fonction de \(R, P(R)\). L'étude de la dérivée \(\displaystyle{\frac{dP}{dR}}\) permet de trouver le maximum s'il existe.

(générateur) \(E -r.I = U = R.I\) (conducteur ohmique)

d'où : \(\displaystyle{I=\frac{E}{r+R}}\)

et dans le conducteur ohmique :

\(\displaystyle{P=R.I^2=R(\frac{E}{r+R})^2=E^2.\frac{R}{(r+R)^2}}\)

la dérivée de cette expression par rapport à \(R\) est :

\(\begin{array}{lll}\frac{dP}{dR}&=&E^2\frac{(r+R)^2-2R(r+R)}{(r+R)^4}\\\\&=&E^2\frac{(r+R)-2R}{(1+R)^3}=E^2\frac{r-R}{(r+R)^3}\end{array}\)

qui s'annule pour \(r = R = 30\;\Omega\) .

Comme \(P > 0\), et puisque\( P = 0 \textrm{ pour } R =0 \textrm{ et pour }R\to\infty, \textrm{la valeur } R=r\) dunne un maximum pour \(P\), de valeur :

\(\displaystyle{P_{\textrm{max}}=E^2\frac{r}{(2r)^2}=\frac{E^2}{4r}=1,2\;W}\)

Question 2 :

\(\displaystyle{\textrm{pour }R=\frac{r}{2}=15\;\Omega}\)

\(\displaystyle{P=12^2\frac{15}{(30+15)^2}=1,07\textrm{ W}}\)

\(\displaystyle{\textrm{pour }R=2r=60\;\Omega}\)

\(\displaystyle{P=12^2\frac{60}{(30+60)^2}=1,07\textrm{ W}}\)

la puissance dissipée dans \(R\) est la même dans les deux cas.