Etude d'un moteur

Partie

Question

Un moteur \(M\) à courant continu a une résistance interne r constante et une force électromotrice\( E'\) variant avec sa vitesse de rotation, donc avec la puissance mécanique qu'il fournit. Cette f.é.m. est nulle à l'arrêt. On réalise le montage ci-dessous :

  1.  on mesure :\(V_C - V_A = 250 \textrm{ V} = E = \textrm{constante ; }  R = 12\; \Omega ; I_1 = 20\textrm{ A}\) quand le moteur est bloqué ; \(I_2 = 8\textrm{ A}\) quand le moteur tourne à vitesse stabilisée.

    Dans ces conditions de fonctionnement, déterminer :

    • la résistance interne \(r\) du moteur,

    • sa f.é.m. \(E'\),

    • la puissance mécanique fournie par le moteur.

  2. Exprimer, en fonction du courant \(I\) traversant le moteur :

    • la puissance totale \(P_{BC}\) dissipée dans la branche \(BC\),

    • la puissance \(P_J\) dissipée par effet Joule dans la branche \(BC\),

    • la puissance mécanique \(P_M\) fournie par le moteur.

  3. On fait varier \(I\) de \(0\) à \(20\textrm{ A}\) ; dans quelles limites varie la puissance mécanique \(P_M\)? Pour quelle valeur de\( I\) est-elle maximale ? Quelle est la valeur de ce maximum ?

  4.  Pour obtenir une puissance mécanique de \(500\textrm{ W}\), quelle valeur faut-il donner à \(I\) ? Quelle est alors la f.é.m. \(E'\) du moteur ?

Aide simple

Question 1 : pour un récepteur, \(U = E' + r.I\)

Question 2 : pour un récepteur, \(P = E'.I + r.I^2\)

Question 3 : la tension aux bornes de la branche \(BC\) est constante

Question 4 : Utiliser l'équation \(P_M(I)\) établie à la question précédente

Aide détaillée

Question 1 : moteur bloqué, \(E' = 0\) ; attention, il y a deux dipôles en série dans la branche ! Quand le moteur tourne, \(P_M = E'.I\)

Question 2 : \(P_M = E'.I\) ; l'effet Joule apparaît dans les résistances

Question 3 : aux bornes du moteur,\( U = E' + r.I = U_{BC} -R.I\)

Question 4 : il y a deux solutions

Solution simple

Question 1 : \(r = 0,5\;\Omega\) ; \(E' = 150\textrm{ V} ; P_M = 1200 \textrm{ W}\).

Question 2 : \(\displaystyle{P_{BC} = E.I ; P_J = (r + R ) I^2 ; P_M = P_{BC} - P_J = E.I - (r + R ) I^2 = E'.I}\)

Question 3 : \(\displaystyle{\textrm{pour } I = 0\textrm{ A}, P_M = 0 \textrm{ W} ; \textrm{ pour } I = 20 \textrm{ A }, P_M = 0 W}\) ; valeur maximale : \(\displaystyle{P_M = 1250 \textrm{ W pour } I = 10 \textrm{ A}}\).

Question 4 : \(\displaystyle{P_M = 500\textrm{ W pour }I = 2,25 \textrm{ A }(E' = 222\textrm{ V}) \textrm{ ou }I = 17,75 \textrm{ A} (E' = 28\textrm{ V})}\) .

Solution détaillée

Question 1 :

Quand le moteur est bloqué, \(E' = 0, \textrm{ donc }U_{BC} = ( r + R ) I_1\) ; d'où :

\(\displaystyle{r=\frac{U_{BC}}{I}-R=0,5\;\Omega}\)

quand le moteur tourne, \(\displaystyle{U_{BC} = E' + ( r + R ) I_2 ; \textrm{ d'où} : E' = U_{BC} - ( r + R ) I_2 = 150 \textrm{ V}}\)

Question 2 :

\(V_C - V_A = 250\textrm{ V} = E = \textrm{constante}\) ; donc pour la branche : \(\displaystyle{P_{BC} = ( V_C - V_A ).I = E.I}\)

L'effet Joule apparaît dans les résistances ; il y a deux dipôles en série dans la branche : le moteur, de résistance interne\( r\), et un conducteur ohmique de résistance \(R\) ; donc : \(P_J = (r + R ) I^2\)

La force électromotrice correspond à la transformation d'énergie électrique en énergie mécanique : \(P_M = E'.I\) ; mais dans la branche \(BC\), \(U_{BC} = E' + ( r + R ) I = E\), tension imposée par le générateur ; d'où : \(P_M = E.I - (r + R ) I^2\)

Question 3 :

A la question précédente, il a été montré que : \(P_M = E.I - (r + R ) I^2\) ; l'intensité varie de \(0 \textrm{ à }20 \textrm{ A}\) ; \(\textrm{ pour } I = 0, P_M = 0 ; \textrm{ pour }I = 20\textrm{ A}, P_M = 0\) ;

La dérivée : \(\displaystyle{\frac{dP}{dI}=E-2(r+R)I}\) s'annule pour \(\displaystyle{I=\frac{E}{2(r+R)}=10\textrm{ A}}\); la puissance mécanique fournie par le moteur est alors maximale et vaut: \(P_M = 1250 \textrm{ W}\)

Question 4 :

A la question n°2, il a été montré que : \(P_M = E.I - (r + R ) I^2 ; P_M = 500 \textrm{ W}\) est une valeur inférieure au maximum trouvé à la question précédente ; il y a donc des solutions à l'équation :

\(\displaystyle{P_M = E.I - (r + R ) I^2 = 500 \textrm{ W}}\)

\(250.I - 12,5.I^2 - 500 = 0\)

en multipliant par \(-2 : 25.I^2 - 500.I + 1000 = 0\)

en divisant par \(25 : I^2 - 20.I + 40 = 0\)

\(\Delta=20^2-4.40=240>0\)

il y a deux solutions : \(\displaystyle{I_1=\frac{20-\sqrt{240}}{2}=2,25\textrm{ A} ;I_2=\frac{20+\sqrt{240}}{2}=17,75\textrm{ A}}\)

\(E'=P/I=222\textrm{ V pour } I=2,25\textrm{ A}, 28\textrm{ V pour }I=17,75\textrm{ A}\).