Structure d'espace vectoriel

Les mathématiciens préfèrent penser que c'est parce que l'ensemble des vecteurs de l'espace a cette structure qu'un de ses éléments est appelé vecteur ; c'est aussi ce qui le rend plus intéressant que les bipoints.

\(\mathbf{R}\) est l'ensemble des nombres réels , \(\mathbf{E}\) est un ensemble muni de deux lois :

  • l'addition (opération interne) : \((\vec{u},\vec{v})\in \mathbf{E} \times \mathbf{E} \longrightarrow \vec{u}+\vec{v}\in \mathbf{E}\)

  • la multiplication (opération externe) : \((\vec{u},\alpha)\in \mathbf{E} \times \mathbf{R} \longrightarrow \alpha \vec{u}\in \mathbf{E}\)

    Le vecteur \(\alpha\vec{u}\) est dit colinéaire à \(\vec{u}\).

Ces deux opérations - interne et externe - font de E un R -ESPACE VECTORIEL parce que :

  • l'opération interne donne à E une structure de GROUPE COMMUTATIF :

    • Addition

      associativité : \(\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}\)

      \(\vec0\) est l'élément neutre de l'addition : \(\vec 0+\vec{v}=\vec{v}+\vec 0=\vec{v}\)

      tout vecteur \(\vec{u}\) admet un symétrique (ou opposé) \(\vec{u'}\) : \(\vec{u}+\vec{u'}=\vec{u'}+\vec{u}=\vec 0\) (à vérifier)

      commutativité : \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}\)

  • les deux opérations vérifient les propriétés suivantes

    • Addition et Multiplication par un scalaire

      1 est l'élément neutre de la multiplication : \(1\vec{u}=\vec{u}\)

      associativité : \(a.(b\vec{u})=(a.b)\vec{u}\)

      distributivité par rapport à l'addition des vecteurs : \(a.(\vec{u}+\vec{v})=a.\vec{u}+a.\vec v\)

      distributivité par rapport à l'addition des scalaires : \((a+b).\vec{u}=a.\vec{u}+b.\vec{u}\)