Produit scalaire
Le produit scalaire est une application de \(\mathbf{E} \times \mathbf{E}\) sur \(\mathbf{R}\) qui fait correspondre au couple \((\vec u,\vec v)\in \mathbf{E}\times \mathbf{E}\to\vec u.\vec v\in \mathbf{R}\) . Cette application possède les propriétés suivantes :
la symétrie : \(\forall\vec u\textrm{ et }\forall\vec v\in \mathbf{E},\vec u.\vec v=\vec v.\vec u\)
on peut changer l'ordre des facteurs sans changer la valeur du résultat.
la bilinéarité :
distributivité par rapport à l'addition : \(\forall\vec u,\forall\vec{u'}\textrm{ et }\forall\vec v\in \mathbf{E},(\vec u+\vec{u'}).\vec v=\vec u.\vec v+\vec{u'}.\vec v\)
produit par un scalaire : \(\forall a\in R,\forall\vec u \textrm{ et }\forall\vec v\in \mathbf{E},(a\vec u).\vec v=\vec u.(a\vec v)=a.(\vec u.\vec v)\)
le produit scalaire est défini : \(\vec u.\vec u=0\Leftrightarrow\vec u=\vec 0\)
le produit scalaire est positif : \(\forall\vec u\in \mathbf{E},\vec u.\vec u>0\)
Dans l'espace vectoriel Euclidien \(\mathbf{E}\), on définit le produit scalaire \(\vec u.\vec v\) des deux vecteurs \(\vec u\textrm{ et }\vec v\) :
de façon intrinsèque, géométrique, sans référence à un repère,
de façon extrinsèque, par les composantes des vecteurs sur une base de l'espace \(\mathbf{E}\).