Structure affine et repères de l'espace

L'espace \(A\) est un Espace Affine de dimension 3 noté \(A (3)\).

L'ensemble \(\mathbf{E}(3)\) des vecteurs de l'espace est un espace vectoriel de dimension 3.

Dans \(A\), le choix d'un point \(B\) et de trois vecteurs unitaires \(\vec u,\vec v,\vec w\), non coplanaires définit un repère \((B,\vec u,\vec v,\vec w)\) d'origine \(B\) de \(A\).

Dire que \(\mathbf{E}(3)\) est un espace vectoriel de dimension trois signifie également qu'il faut trois nombres pour repérer tout vecteur \(\vec q\in E(3)\), c'est-à-dire qu'il existe \(x\in R, y\in R, z\in R\) tels que \(\vec q= x.\vec u+ y.\vec v+ z.\vec w\)

  • \((\vec u,\vec v,\vec w)\) est dit une Base de l'espace

  • \((x, y, z)\) sont appelées composantes de \(\vec q\) dans la Base \((\vec u,\vec v,\vec w)\).

  • \(\vec q\) est dit combinaison linéaire de \((\vec u,\vec v,\vec w)\).

\(A\) est dit Espace Affine associé à \(\mathbf{E}(3)\) car tout vecteur \(\vec q\) de \(\mathbf{E}(3)\) est représenté par un point \(M\) de \(A\) unique tel que \(\vec q=\overrightarrow{BM}\).

Tout point \(M\) de \(A\) se repère avec trois nombres \(x\in R, y\in R, z\in R\) tels que \(\overrightarrow{BM}=x.\vec{u}+y.\vec{v}+z.\vec{w}\)

\((x, y, z)\) sont appelées coordonnées de \(M\) dans le repère \((B,\vec u,\vec v,\vec w)\) .

Repères de \(A\) :

  • Quatre points \((B,C,D,F)\) non coplanaires définissent un repère \((B,\vec u,\vec v,\vec w)\) avec : \(\vec u=\frac{\overrightarrow{BC}}{BC}\) \(\vec v=\frac{\overrightarrow{BD}}{BD}\) \(\vec w=\frac{\overrightarrow{BF}}{BF}\)

  • Un point \(K\) et trois vecteurs \(\vec q,\vec r,\vec s\) non coplanaires définissent un repère \((K,\vec u,\vec v,\vec w)\)\(\vec u=\frac{\vec q}{q}\), \(\vec v=\frac{\vec r}{r}\) et \(\vec w=\frac{\vec s}{s}\).

Repère orthonormé dans un plan \(P\) :

Si les vecteurs \(\vec u,\vec v,\vec w\), du repère sont deux à deux orthogonaux : les angles \((\vec u,\vec v),(\vec v,\vec w),(\vec w,\vec u)\) sont égaux à \(\frac{\pi}2\) et \(( B,\vec u,\vec v,\vec w)\) est dit Repère orthonormé. Les axes sont ceux définis par \((B,\vec u),(B,\vec v),(B,\vec w)\).

Par la suite nous n'envisagerons que des repères orthonormés et directs mais pour cela, il faut définir l'orientation de l'espace.