Représentation mathématique de notions physiques

La structure Euclidienne organise les notions géométriques habituelles de longueur, de distance, d'angle, d'orthogonalité, de symétrie orthogonale, de rotation ...

Elle consiste à définir l'opération produit scalaire dans un espace vectoriel E. Dans notre espace on définit aussi une orientation.

Soit l'espace pointé \(E_O\) dans lequel on représente \(\vec{u}\) par un bipoint \(\overrightarrow{OM}\) et \(\vec v\) par un bipoint \(\overrightarrow{ON}\); \((\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON})\) représente l'angle entre les vecteurs \(\overrightarrow{OM}\textrm{ et }\overrightarrow{ON}\).

• Produit scalaire et norme :

  • Produit scalaire : Définition intrinsèque : \(\vec u.\vec v=\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON} = \Vert\overrightarrow{OM}\Vert.\Vert\overrightarrow{ON}\Vert\cos(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON})\)

  • Norme : \(\Vert\overrightarrow{OM}\Vert²=\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{OM}\)

  • Orthogonalité : \(\vec u.\vec v\Leftrightarrow\vec u.\vec v=0\)

  • Repère orthonormé : \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\) tel que \(\vec i.\vec i=\vec j.\vec j=\vec k.\vec k=l\) et \(\vec i.\vec j=\vec j.\vec k=\vec k.\vec i=0\)

    \(\vec i,\vec j,\vec k\) forment une base orthonormée de l'espace des vecteurs.

• Orientation :

  On définit l'orientation de l'espace A en choisissant un trièdre de référence \(\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{Oy}, \overrightarrow{Oz}\), où les trois vecteurs sont linéairement indépendants (non coplanaires).

  Tout trièdre est alors soit :

  • de même sens que \(\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{Oy}, \overrightarrow{Oz}\) : c'est le sens direct.

  • soit de sens contraire: sens indirect ou rétrograde.

  C'est l'ordre des vecteurs dans le trièdre qui caractérise son orientation, qui définit son sens. Le sens n'est pas modifié si on permute circulairement les 3 vecteurs.

  Il est modifié par toute autre permutation.

  Par exemple : \(\overrightarrow{Oj}, \overrightarrow{Ok}, \overrightarrow{Oi}\), est de sens direct, et \(\overrightarrow{Oj}, \overrightarrow{Oi}, \overrightarrow{Ok}\) est de sens contraire à celui de \(\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{Oy}, \overrightarrow{Oz}\).