Champ de gravitation

Sur une base cartésienne :\( \displaystyle{\overrightarrow r=x\overrightarrow i+y\overrightarrow j+z\overrightarrow k}\)

d'où :

\(\displaystyle{\overrightarrow a(M)=-K\frac{x\overrightarrow i+y\overrightarrow j+z\overrightarrow k}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}}\)

En coordonnées cartésiennes, le rotationnel s'écrit sous la forme symbolique du déterminant :

\(\displaystyle{\overrightarrow{Rot}\;\overrightarrow a=\left\vert\begin{array}{cccc}\overrightarrow i&\overrightarrow j&\overrightarrow k\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\\frac{-K_x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}&\frac{-K_y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}&\frac{-K_z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\end{array}\right\vert}\)

La composante sur \(\displaystyle{\overrightarrow i}\) :

\(\displaystyle{\frac{\partial Z}{\partial y}-\frac{\partial Z}{\partial z}=\frac{3}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-5/2}2Kzy-\frac{3}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-5/2}2Kyz=0}\)

Pour raison de symétrie, les autres composantes sont égalements nulles. Le champ de gravitation ayant un rotationnel nul, dérive d'un potentiel.