L'interaction de la terre sur le corps est, en appelant M la masse de la terre, m la masse du corps et r la distance du centre de la terre au corps :
\displaystyle{\overrightarrow F=-G\frac{Mm}{r^2}\overrightarrow u_r}
Le théorème de l'énergie cinétique appliqué entre le sol et l'altitude h s'écrit, le référentiel local étant supposé galiléen :
\displaystyle{T(R+h)-T(R)=-GmM\int_R^{R+h}\frac{1}{r^2}\overrightarrow u_r\cdot\textrm dr\overrightarrow u_r=Gm\int_R^{R+h}\frac{-1}{r^2}\textrm dr=Gm[\frac{1}{R+h}-\frac{1}{R}]}
\displaystyle{T(R+h)-T(R)=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}v_o^2=Gm[\frac{1}{R+h}-\frac{1}{R}]}
d'où on tire avec v = v_0 \textrm{ pour }r = R (rayon de la terre) :
\displaystyle{v^2=2GM(\frac{1}{r}-\frac{1}{R})+v_o^2}
En posant : r = R + h où h est l' altitude du corps au dessus de la surface de la terre.
Il vient : \displaystyle{v^2=v_0^2-2\frac{GM}{R^2}(\frac{1}{r}-\frac{1}{R})}
soit avec \displaystyle{g=\frac{GM}{R^2}\;v=\sqrt{v_o^2-2g\frac{Rh}{R+h}}}
Quand \displaystyle{h\to\infty}, la vitesse tend vers une limite :
vl=\sqrt{{v_o}^2-\frac{2GM}{R}}=\sqrt{{{v_o}^2}-2gR}
La valeur minimale de v_0 (vitesse de libération) correspond à
\displaystyle{vl=0 :v_o=\sqrt{2gR}}
A.N. v_0 = 11,2 \textrm{ km.s}^{-1}.