Satellisation (suite)
Partie
Question
Satellisation (suite)
4) On veut faire passer le satellite sur une autre orbite circulaire de rayon \(R'\) tel que \(R' > R\), située dans le même plan que la précédente. Pour cela, en un point \(M_1\) de la première orbite, on communique au satellite de manière instantanée, une quantité de mouvement supplémentaire, de manière à lui faire décrire une orbite elliptique d'attente, de grand axe \(M_1M_2\) (\(M_2\) est le point du cercle de rayon \(R'\) situé sur la droite définie par \(OM_1\), de l'autre côté de \(O\) par rapport à \(M_1\)). Calculer, en fonction de \(G, M, R \textrm{ et }R'\), les normes \(v_1 \textrm{ et }v_2\) des vitesses du satellite aux points \(M_1 \textrm{ et }M_2\) et l'énergie \(\Delta E_1\) qu'il a fallu fournir au satellite pour le faire changer d'orbite.
5) Lorsque le satellite passe par \(M_2\), on lui communique une nouvelle accélération de manière à lui faire décrire le cercle de rayon \(R'\). Calculer la norme \(v'\) de la vitesse du satellite sur cette troisième orbite et l'énergie \(\Delta E_2\) qu'il a fallu fournir en \(M_2\) pour faire passer le satellite de la \(2^\textrm{ème}\) à la \(3^\textrm{ème}\) orbite.
6) Calculer l'énergie totale \(\Delta E = \Delta E_1 + \Delta E_2\) nécessaire pour faire passer le satellite de l'orbite circulaire de rayon \(R\) à l'orbite circulaire de rayon \(R'\). Montrer qu'elle se présente comme la différence de deux termes que l'on précisera.
A.N. Calculer \(\Delta E\) pour \(m = 10^3 \textrm{ kg}, R' = 6,9.10^6 \textrm{ m}\).
7) Quelle vitesse doit-on donner au satellite placé sur l'orbite de rayon \(R'\) pour qu'il puisse échapper à l'attraction terrestre ?
Aide simple
4) Montrer que le moment cinétique se conserve
5) Utiliser la conservation de l'énergie Attention : La conservation a cours sur une trajectoire donnée
6) L'énergie potentielle ne dépend que de la position d'un point : elle est donc la même pour deux trajectoires passant par ce point
Solution détaillée
4) Au cours du mouvement sur une trajectoire à accélération centrale, le moment cinétique se conserve ; par conséquent,
\(\displaystyle{\overrightarrow\sigma(M_1)=\overrightarrow\sigma(M_2)}\)
Pour montrer que le moment cinétique se conserve, on calcule sa dérivée par rapport au temps :
\(\displaystyle{\frac{\textrm d}{\textrm dt}=(\overrightarrow{OM}\wedge\overrightarrow{mv})=\frac{\textrm d(\overrightarrow{OM})}{\textrm dt}\wedge m\overrightarrow v+\overrightarrow{OM}\wedge\frac{\textrm d\overrightarrow{ mv}}{\textrm dt}}\)
Or :
\(\displaystyle{\frac{\textrm d\overrightarrow{OM}}{\textrm dt}=\overrightarrow v\textrm{ et }\frac{\textrm d\overrightarrow p}{\textrm dt}=\overrightarrow F}\)
Par suite : \(\displaystyle{(\overrightarrow v\wedge m\overrightarrow v)+(\overrightarrow{OM}\wedge\overrightarrow F)=\overrightarrow0}\)
Donc \(\displaystyle{\overrightarrow\sigma=\sigma_0\;\overrightarrow k=m\sqrt{GMR}\;\overrightarrow k}\) avec \(\sigma_0\) le moment cinétique du satellite sur la trajectoire circulaire.
5) Dans la suite du problème, on ne se préoccupera que des normes des moments cinétiques car les trajectoires étant planes, il sont tous selon \(\overrightarrow k\) . On a donc :
\(\displaystyle{mR\vert\vert\overrightarrow v(M_1)\vert\vert=mR'\vert\vert\overrightarrow v(M_2)\vert\vert\quad(1)}\)
Soit en appelant \(\displaystyle{v_1=\vert\vert\overrightarrow v(M_1)\vert\vert}\) et
\(\displaystyle{v_2=\vert\vert\overrightarrow v(M_2)\vert\vert\frac{v_1}{v_2}=\frac{R'}{R}}\)
Il faut une seconde relation que fournit la conservation de l'énergie :
\(\displaystyle{E(M_1)=E(M_2)\quad(2)}\)
Or :
\(\displaystyle{U(M_1)=\frac{-Gm}{R}\;U(M_2)=\frac{-Gm}{R'}}\)
\(\displaystyle{T(M_1)=\frac{1}{2}mv_1^2T(M_2)=\frac{1}{2}mv_2^2}\)
\(\displaystyle{E(M_1)=\frac{-Gm}{R}+\frac{1}{2}mv_1^2}\)
\(\displaystyle{E(M_2)=\frac{-Gm}{R'}+\frac{1}{2}mv_2^2}\)
On a donc deux relations à deux inconnues qui se résoud en calculant \(\displaystyle{v_1^2-v_2^2}\) . On obtient :
\(\displaystyle{v_1^2=2GM\frac{\frac{R'}{R}}{R'+R}\textrm{ et }v_2^2=2GM\frac{\frac{R}{R'}}{R'+R}}\)
Pour faire changer le satellite d'orbite, il a fallu passer de\( E_0 \textrm{ à }E_1\) obtenu en portant la valeur de \(v_1^2\) dans (2) :
\(\displaystyle{E_1=\frac{-GmM}{R+R'}}\)
d'où
\(\displaystyle{\Delta E_1=E_1-E_0=-GmM(\frac{1}{R+R'}-\frac{1}{2R})=\Delta E_1=\frac{GmM}{2R}\frac{R'-R}{R'+R}}\)
6) Lorsque le satellite passe en \(M_2\), pour qu'il suive ensuite la trajectoire circulaire de rayon \(R'\), il faut qu'il ait atteint le niveau d'énergie \(E_2\) correspondant au cercle de rayon\( R'\), donc telle que :
\(\displaystyle{U(M_2)=\frac{-Gm}{R'}}\)
et
\(T(R')=\frac{1}{2}m{v'_0}^2\)
Ce \(v'_0\) est défini par \(\displaystyle{{v'_0}^2=\frac{Gm}{R'}}\) (relation analogue à celle de la question 1°).
Ce \(\Delta E_2\) à communiquer est alors purement cinétique (que \(M_2\) soit sur le cercle ou sur l'ellipse, son énergie potentielle est la même) et
\(\displaystyle{\Delta E_2=T_2(\textrm{cercle})-T_2(\textrm{ellipse})}\)
soit encore,
\(\displaystyle{\Delta E_2=\frac{1}{2}\frac{GmM}{R'}-\frac{1}{2}mv_2^2=\frac{GmM}{2R'}\frac{R'-R}{R'+R}}\)
Ce \(\Delta E_2\) doit être positif.
7) L'énergie totale qu'il a fallu fournir pour passer de l'orbite circulaire (\(R\)) à l'orbite circulaire ( \(R'\)) est alors \(\Delta E=\Delta E_1+\Delta E_2\) , ce qui avec réduction, aboutit à :
\(\displaystyle{\Delta E=\frac{GmM}{2}(\frac{1}{R'}-\frac{1}{R})}\)
Ce résultat est évident, il correspond à la différence des énergies pour les deux orbites circulaires (calcul effectué au 1°) pour l'orbite de rayon \(R\)).
A.N.\(\Delta E=8,7.10^8 \mathrm{J}\)
8) Pour que le satellite échappe à l'attraction terrestre, il suffit que son énergie totale soit nulle, ce qui correspond au cas limite (parabole) entre les orbites libres (hyperbole) et liées (ellipse et cercle).
La vitesse \(\displaystyle{vl}\) est alors telle que
\(\displaystyle{\frac{1}{2}mvl^2=\frac{GmM}{R'}\textrm{ soit }vl^2=\frac{2GM}{R'}}\)
A.N. \(vl= 1,08.10^4 \textrm{ ms}^{-1}\)