L'impesanteur
Partie
Question
L'impesanteur (*)
Un satellite tourne sur une orbite circulaire à une altitude h au dessus de la surface de la terre. Déterminer la vitesse orbitale et la période pour un observateur terrestre de telle façon qu'un cosmonaute dans le satellite soit en état dit "d'impesanteur".
Remarque : Le terme courant "impesanteur" peut laisser entendre que la pesanteur terrestre, c'est-à-dire l'action de la gravitation, ne s'exerce plus sur la masse, ce qui est faux. Le champ de gravitation terrestre ne s'annule qu'à l'infini.
Aide simple
La loi de Képler s'exprime par rapport au référentiel attaché au centre d'attraction
Solution détaillée
On lie un référentiel au satellite. Le cosmonaute y sera en "impesanteur" s'il est immobile par rapport au satellite, soit si l'accélération \(\overrightarrow\gamma_r\) est nulle.
Par rapport à un référentiel galiléen, la composition des accélerations et le principe fondamental de la dynamique s'écrive :
\(\displaystyle{m(\overrightarrow\gamma_r+\overrightarrow\gamma_e+\overrightarrow\gamma_c)=m\overrightarrow g}\)
Dans notre situation on peut écrire :
\(\displaystyle{\overrightarrow\gamma_c=\overrightarrow0}\)
\(\displaystyle{\overrightarrow g(h)=\frac{gR^2}{(R+h)^2}(-\overrightarrow k)}\)
\(\displaystyle{\overrightarrow\gamma_e=\frac{v^2}{R+h}(-\overrightarrow k)}\)
\(\displaystyle{\overrightarrow\gamma_r=\overrightarrow0}\)
ce qui conduit à \(\displaystyle{\overrightarrow\gamma_e=\overrightarrow g}\)
En reportant les expressions en fonction de \(R \textrm{ et }h\):
\(\displaystyle{\frac{v^2}{R+h}=\frac{gR^2}{(R+h)^2}\textrm{ et }v=R\sqrt{\frac{g}{R+h}}}\)
et comme \(\displaystyle{v=(R+h)\frac{2\pi}{T}}\) , \(T\) étant la période, on tire de ces relations :
\(\displaystyle{T=2\pi\sqrt{\frac{(R+h)^3}{gR^2}}\approx2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}}\)
A.N.: \(T= 1\textrm{ h }24 \textrm{ mn }\)