Satellisation

Partie

Question

Satellisation

Un satellite de masse \(m\), supposé ponctuel, est placé sur une orbite circulaire de centre \(O\) et de rayon \(R\) autour de la Terre supposée sphérique, homogène de masse \(M\) et immobile.

  1. Indiquer le référentiel choisi pour calculer l'expression de la vitesse \(\overrightarrow v\) du satellite en fonction de \(G, M \textrm{ et }R\).

    En déduire la période de révolution du satellite sur cette orbite.

    A.N. \(G = 6,7.10^{-11} \textrm{ Nm}^2\textrm{kg}^{-2}, \textrm M = 6.10^{24} \textrm{ kg}, \textrm R = 6,7.10^6 \textrm m\).

  2. Calculer l'énergie potentielle \(E_p\) du satellite lorsque celui-ci se trouve à la distance \(r\) du centre de la Terre

    (\(r >\) rayon terrestre). On suppose que \(E_p\) s'annule à l'infini.

  3. Calculer l'énergie mécanique \(E\) du satellite sur l'orbite circulaire de rayon \(R\) en fonction de \(G, M, m\textrm{ et }R\). Que peut-on dire de cette énergie ?

Aide simple

1) Démontrer que la norme \(v\) de la vitesse du satellite est constante

Solution détaillée

  1. On prend pour référentiel le galiléen attaché au point \(O\). La seule force agissante est celle de la gravitation, centrale et dirigée selon \(-\overrightarrow u_r\) ; la trajectoire étant circulaire \(\overrightarrow n=-\overrightarrow u_r\) . L'accélération colinéaire à la force est dirigée aussi selon \(\overrightarrow n\) . Sa forme générale s'écrit en coordonnées intrinsèques :

    \(\displaystyle{\overrightarrow a=\frac{v^2}{R}\overrightarrow n+\frac{\textrm dv}{\textrm dt}\overrightarrow\tau}\)

    elle se réduit au terme selon\( \overrightarrow n\) . Par suite, \(\textrm dv/\textrm dt = 0\) donc \(\displaystyle{v=\vert\vert\overrightarrow v\vert\vert}\) est une constante. D'où

    \(\displaystyle{\frac{v^2}{R}\overrightarrow n=-\frac{\vert\vert\overrightarrow F\vert\vert}{m}\overrightarrow u_r\textrm{ et }\frac{v^2}{R}=\frac{GM}{R^2}\textrm{ soit }v^2=\frac{GM}{R}}\)

    Puisque \(v\) est constant et que la trajectoire est circulaire, on peut calculer \(T\) :

    • soit par la troisième loi de Képler :

      \(\displaystyle{\frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{GM}}\)

    • soit en posant

      \(\displaystyle{T=\frac{2\pi R}{v}=2\pi R\sqrt{\frac{R}{GM}}}\)

      A.N. \(v^2\) peu différent de \(60.10^6 \textrm{ et T} = 1\textrm{ h }30 (5435 \textrm{ s})\)

  2. Là aussi, deux approches:

    • Soit on passe par le gradient :\(\displaystyle{\overrightarrow F(M)=-\overrightarrow{\textrm{grad }}E_p(M)}\)

      , ce qui dans ce cas est très simple car \(\overrightarrow F\) ne dépend que d'une seule variable et\( \displaystyle{\frac{\textrm dE_p}{\delta r}=\frac{\delta E_p}{\textrm dr}}\) d'où

      \(\displaystyle{\textrm dE_p=GmM\frac{\textrm dr}{r^2}}\)

    • Soit on passe par la circulation depuis l'infini où la force est nulle, de la force opposée à la force gravitationnelle :

      \(\displaystyle{E_p(M)-E_p(\infty)=\Delta E_p=Gm\int_\infty^r\frac{1}{r^2}\textrm dr=-Gm[\frac{1}{r}-\frac{1}{\infty}]=\frac{-Gm}{r}}\)

  3. Dans le cas de l'orbite circulaire, si on note l'énergie mécanique \(E^0\), on a :

    \(\displaystyle{E^0=\frac{1}{2}\frac{GM}{R}-\frac{GmM}{R}=-\frac{GmM}{2R}}\)

    Cette énergie est négative : les deux corps sont liés.