L'usure des rails
Partie
Question
L'usure des rails (**)
Un train rapide roulant à une vitesse \(v = 200 \textrm{ km/h}\) circule dans la direction nord-sud en un lieu de latitude \(\lambda = 60°\). Préciser la direction et le sens de l' accélération de Coriolis.
De quel angle faudrait-il incliner le plan des rails sur l'horizontale si l'on voulait que la réaction des rails soit perpendiculaire à ce plan?
Aide simple
Le poids s'obtient par l'attraction universelle diminuée de l'accélération d'entraînement; la réaction compense le poids diminué de l'accélération de Coriolis.
Solution détaillée
1) Le train roule le long d'un méridien vers le Sud avec une vitesse \(\overrightarrow v\) par rapport au référentiel local. Il est soumis à une accélération de Coriolis :
\(\displaystyle{\overrightarrow\gamma_c=2\overrightarrow\omega\wedge\overrightarrow v}\)
Dans le repère lié à \(G\),on fait le bilan des forces auxquelles le train est soumis dans le plan (\(Oyz\)) perpendiculaire à sa vitesse; on suppose localement le mouvement du train rectiligne uniforme donc on a \(\overrightarrow\gamma_r=\overrightarrow0\) . Il est aussi soumis à son poids et à la réaction des rails. Le principe fondamental donne :
\(\displaystyle{m\overrightarrow G+\overrightarrow R=m(\overrightarrow\gamma_e+\overrightarrow\gamma_c)}\)
ou encore
\(\displaystyle{\overrightarrow R=-m(\overrightarrow G-\overrightarrow\gamma_e-\overrightarrow\gamma_c)}\)
La réaction compense le champ d'attraction terrestre diminuée de l'effet des accélérations d'entrainement et de Coriolis. Or
\(\displaystyle{\overrightarrow P=m\overrightarrow g=m(\overrightarrow G-\overrightarrow\gamma_e)}\)
donc :
\(\displaystyle{\overrightarrow P+\overrightarrow R=m\overrightarrow\gamma_c}\)
2) L'angle d'inclinaison a des rails devrait être tel que :
\(\displaystyle{\textrm{tg }\alpha=\frac{\vert\vert\overrightarrow\gamma_c\vert\vert}{g}=\frac{2\omega v\sin\lambda}{g}}\)
Application numérique : \(\textrm{ tg a}= 7 10^{-4}\textrm{ rad} = 2'25"\)
Si le plan des rails n'est pas relevé la réaction a une composante perpendiculaire aux rails dirigée vers l'Ouest qui se traduit par un frottement sur le rail Ouest et donc une usure plus importante de celui-ci. Inversement si le train se dirige vers le Nord c'est le rail Est qui est plus usé. Si l'écartement de rails est de l'ordre de \(1,5 \textrm{ m}\), cela correspond à un relèvement d'un des rails de \(1 \textrm{ mm}\) par rapport à l'autre. Cette précision ne peut pas être atteinte lors de la pose des rails (stabilité du ballast) et donc dans la pratique l'un des rails est plus usé que l'autre.