Foyers principaux et points cardinaux [Miroir Sphérique]

Foyers principaux et points cardinaux

L'étude du stigmatisme^[1] approché confirme, s'il en était besoin, le caractère privilégié de l'axe principal^[2] d'un miroir sphérique. Ceci nous invite à rechercher parmi les points de cet axe ceux qui présentent des propriétés particulières, lorsque les conditions de Gauss^[3] sont satisfaites. Nous disposons pour cela de la formule fondamentale des miroirs sphériques, telle qu'on peut l'exprimer quand on ne considère que des rayons paraxiaux^[4]. Toutefois cette relation a le défaut de ne pas être applicable à un point source situé en C, centre du miroir ; on a en effet :

\(\frac{1}{\overline{\mathrm{CA}}}+\frac{1}{\overline{\mathrm{CA'}}}=\frac{2}{\mathrm r}~~~~\) avec \(~\mathrm r=\overline{\mathrm{CS}}\)

Pour lever cette difficulté, nous allons opérer un changement d'origine des grandeurs algébriques, en rapportant celles-ci à \(\mathrm S\), sommet du miroir ; ce faisant nous obtenons :

\(\frac{1}{\overline{\mathrm{SA}}}+\frac{1}{\overline{\mathrm{SA'}}}=\frac{2}{\mathrm R}~~~~\)

avec \(~\mathrm R=\overline{\mathrm{SC}}\)

Dans cette formule qui sera donc celle que nous utiliserons pour déterminer foyers principaux et points cardinaux, nous pouvons noter que subsiste une indétermination, mais que celle-ci concerne le point \(\mathrm S\), qui ne présente aucun intérêt physique, bien qu'il soit rigoureusement stigmatique. On remarquera également l'introduction de la grandeur algébrique : \(\mathrm R=\overline{\mathrm{SC}}\) qui par définition sera appelée rayon de courbure du miroir.

Notes

Stigmatisme
Propriété d'un système optique qui associe un seul point image à un seul point source. Un système peut n'être stigmatique que pour certains points remarquables. Pour un système stigmatique, tous les rayons issus d'un point source du domaine de stigmatisme, convergent vers le (ou proviennent du) même point image. Le stigmatisme est dit rigoureux lorsque le chemin optique entre le point objet et le point image est indépendant du rayon. Le stigmatisme est dit approché lorsque les conditions de Gauss sont nécessaires pour qu'il soit réalisé.
Exemple de système non stigmatique pour le couple de points \(AA'\) : le rayon \(APP"A"\) ne passe pas par \(A'\), image de \(A\) par d'autres rayons.
Un dioptre plan n'est pas stigmatique.
Axe Principal
Étant donné un système optique centré, c'est à dire qui possède un axe de symétrie de révolution, qui traverse l'espace objet réel et l'espace image réelle. On appelle axe principal du système cet axe de symétrie.
Exemple : Lentille convergente.
Contre-exemple : Une lentille cylindrique possède un axe de révolution mais n'est pas un système centré.
Conditions de GAUSS
Un système est utilisé dans les conditions de Gauss, lorsque les rayons qui le traversent sont peu inclinés sur l'axe principal ( rayons paraxiaux).
On peut alors considérer valable l'approximation qui permet de confondre l'angle d'incidence et son sinus (a~sina).
Dans ces conditions, il y a stigmatisme pour les points objet et image.
Ce stigmatisme est dit approché car il nécessite les conditions de Gauss pour être réalisé.
C'est en 1841 que Gauss a, le premier, présenté un exposé sur la formation des images dans cette approximation. Depuis, on emploie également les termes d'approximation de Gauss ou d'optique Gaussienne.
Rayons Paraxiaux
Les rayons peu inclinés sur l'axe principal sont appelés rayons paraxiaux.
Lorsqu'on se limite à l'étude de tel rayons, on peut considérer valable l'approximation qui permet de confondre l'angle d'incidence et son sinus (\(a~\approx~\sin~a\)).
On dit alors qu'on travaille dans les conditions de GAUSS.
Dans ces conditions, il y a stigmatisme pour les points objet et image. Ce stigmatisme est dit approché car il nécessite les conditions de Gauss pour être réalisé.