Déviation D en fonction de l'angle d'incidence i.
Considérons la fonction f qui par l'intermédiaire des formules du prisme lie D à A, n et i. Différentions ces relations, en laissant constant A et n :
\(\cos~\mathrm i~.~\mathrm{di} = \mathrm n~.~\cos~\mathrm r~.~\mathrm{dr}\)
\(\cos~\mathrm{i'}~.~\mathrm{di'} = \mathrm n~.~\cos~\mathrm{r'}~.~\mathrm{dr'}\)
\(0 = \mathrm{dr} + \mathrm{dr'}\)
\(\mathrm{dD} = \mathrm{di}+\mathrm{di'}\)
De ce système il est possible d'extraire l'expression de la dérivée de dD/di :
\(\frac{\mathrm{dD}}{\mathrm{di}}=1+\frac{\mathrm{di'}}{\mathrm{di}}~~\) avec \(\frac{\mathrm{di'}}{\mathrm{di}}=\frac{\cos~\mathrm i~.~\cos~\mathrm{r'}~.~\mathrm{dr'}}{\cos~\mathrm{i'}~.~\cos~\mathrm r~.~\mathrm{dr}}=-\frac{\cos~\mathrm i~.~\cos~\mathrm{r'}}{\cos~\mathrm{i'}~.~\cos~\mathrm r}\)
ce qui entraîne : \(\frac{\mathrm{dD}}{\mathrm{di}}=1-\frac{\cos~\mathrm i~.~\cos~\mathrm{r'}}{\cos~\mathrm{i'}~.~\cos~\mathrm r}\)
Pour déterminer le signe de cette dérivée et en déduire le sens dans lequel la déviation évolue en fonction de l'angle d'incidence, recherchons le domaine de variation de i. Celui-ci est pour une part imposé par les conditions d'émergence du prisme qui nous précisent notamment que :
\(\mathrm i~\ge~\mathrm i_0~~\) avec \(~\sin~\mathrm i_0=\mathrm n~\sin(\mathrm A-\lambda)\)
De plus : \(\mathrm i\le\frac{\pi}{2}\). Calculons la valeur de dD/di aux bornes de l'intervalle : \(\Big[\mathrm i_0,+\frac{\pi}{2}\Big]\)
pour i = io \(\frac{\mathrm{dD}}{\mathrm{di}}=-\infty\) puisque dans ce cas :
\(\mathrm{i'}=+\frac{\pi}{2}~\), \(~\mathrm{r'}=\lambda~\) et \(~\mathrm{r}=\mathrm A-\lambda\)
pour \(\mathrm{i}=+\frac{\pi}{2}\) ,
\(\frac{\mathrm{dD}}{\mathrm{di}}=+1\) car alors : \(\mathrm{r}=\lambda~\), \(~\mathrm{r'}=\mathrm A-\lambda~\) et \(~\mathrm{i'}=\mathrm i_0\)
On voit aussi que la dérivée change au moins une fois de signe entre io et \(+\frac{\pi}{2}\).
cherchons les valeurs de di pour lesquelles dD/di = 0. Celles ci sont les racines de l'équation :
\(\cos~\mathrm i~.~\cos~\mathrm{r'}=\cos~\mathrm{i'}~.~\cos~\mathrm r\) ou encore de \(\cos^2~\mathrm i~.~\cos^2~\mathrm{r'}=\cos^2~\mathrm{i'}~.~\cos^2~\mathrm r\)
Compte tenu des formules de Descartes, cette relation peut être transformée ; elle conduit après simplification, à l'équation : \(\sin^2~\mathrm i=\sin^2~\mathrm{i'}\) dont les racines sont : \(\mathrm i=\pm\mathrm{i'}\)
La solution i = - i' n'est pas recevable physiquement car elle entraîne r = - r' c'est-à-dire A = 0.
Il n'existe donc qu'une seule valeur de i pour laquelle dD/di = 0; cela signifie que la déviation D ne présente qu'un seul extremum. Comme le montre le tableau de variation de la fonction :
\(\textrm{i}\) | \(\textrm{i}_{0}\) | \(\textrm{im}\) | +90° |
\(\textrm{i}'\) | +90° | \(\textrm{im}\) | \(\textrm{i}_{0}\) |
\(\textrm{dD}/\textrm{di}\) | \(-\infty\) | 0 | +1 |
\(\textrm{D}\) | \(\textrm{D}_{0}\) | \(\textrm{Dm}\) | \(\textrm{D}_{0}\) |
celui-ci est un minimum qui correspond à D = Dm avec : Dm = 2 im - A si im désigne la valeur commune aux angles i et i'.
Remarquons par ailleurs qu'aux bornes de l'intervalle de variation de i, la déviation est maximale et égale à : \(\mathrm D_0=\mathrm i_0+\frac{\pi}{2}-\mathrm A\)
En dehors de ces résultats qui confirment bien ceux obtenus expérimentalement, l'étude théorique de la fonction D = f(i) fournit des informations complémentaires intéressantes.
Ainsi on note que la fonction est continue entre io et \(\frac{\pi}{2}\) ; il en résulte qu'à une même valeur D de la déviation , il ne peut correspondre sur la courbe que deux points P et Q d'abscisses respectives i et i'. Cela signifie au niveau de la marche des rayons lumineux à travers le prisme, qu'il n'existe que deux valeurs de l'angle d'incidence, et deux seulement, pour laquelle la lumière est déviée de la même amplitude;
En dehors de ces résultats qui confirment bien ceux obtenus expérimentalement, l'étude théorique de la fonction D = f(i) fournit des informations complémentaires intéressantes.
Ainsi on note que la fonction est continue entre io et \(\frac{\pi}{2}\) ; il en résulte qu'à une même valeur D de la déviation , il ne peut correspondre sur la courbe que deux points P et Q d'abscisses respectives i et i'. Cela signifie au niveau de la marche des rayons lumineux à travers le prisme, qu'il n'existe que deux valeurs de l'angle d'incidence, et deux seulement, pour laquelle la lumière est déviée de la même amplitude;
si I et I' sont les angles d'émergence correspondants respectivement à ces angles d'incidence i et i' ,on a donc:
i + I - A = i' + I' - A , compte tenu de l'expression générale de la déviation.
Or cette égalité doit être compatible avec le principe de retour inverse de la lumière ; pour qu'il en soit ainsi, la seule solution possible est que : I = i' et I' = i. Autrement dit, sur la courbe D = f(i) , deux points P et Q d'abscisses respectives i et i' ne peuvent avoir la même ordonnée, c'est à dire la même déviation, que si celle-ci a pour valeur : D = i + i' - A
Il est intéressant de remarquer que cette expression de D peut être transformée pour faire apparaître les coordonnées \(\Big(\frac{\mathrm i+\mathrm{i'}}{2},\mathrm D\Big)\) du point H milieu du segment PQ. En effet exprimée sous la forme : \(\mathrm D=2\Big(\frac{\mathrm i+\mathrm{i'}}{2}\Big)-\mathrm A\) ; cette relation n'est autre que l'équation de la droite suivant laquelle se répartissent les points milieux des cordes telles que PQ, lorsque D varie de Do à Dm. Cette droite de pente +2 et dont l'ordonnée à l'origine a pour valeur -A , coupe évidemment la courbe D = f ( i ) en son minimum de déviation. Cette propriété est souvent mise à profit pour déterminer Dm. En effet, pour connaître avec précision la valeur minimale de la déviation, à partir de la courbe expérimentale D = f ( i ) d'un prisme, il suffit de relever l'ordonnée du point d'intersection de cette courbe avec la droite : \(\mathrm D=2\Big(\frac{\mathrm i+\mathrm{i'}}{2}\Big)-\mathrm A\) qui peut être construite expérimentalement ,soit en traçant le lieu géométrique des points milieux des cordes parallèles à l'axe des abscisses i du graphe D = f ( i ), soit en déterminant par une mesure indépendante la valeur de l'angle A du prisme.
Il est une autre remarque qui mérite d'être faite à propos du minimum de déviation. Nous avons vu en effet que pour D = Dm, i = i' = im ; ceci entraîne que r = r' = rm =A/2 .
Autrement dit :
lorsqu'un rayon lumineux traverse un prisme au minimum de déviation, son trajet est symétrique par rapport à la bissectrice de l'angle A du prisme.
Par ailleurs puisque Dm = 2 im - A, on a \(\mathrm i_{\mathrm m}=\frac{\mathrm A+\mathrm D_{\mathrm m}}{2}\)
La loi des sinus de Descartes s'exprime donc au minimum de déviation sous la forme :
\(\sin~\Big(\frac{\mathrm A+\mathrm D_{\mathrm m}}{2}\Big)=\mathrm n~\sin\Big(\frac{\mathrm A}2\Big)\)
d'où l'on peut tirer :
\(\mathrm n=\frac{\sin~\Big(\frac{\mathrm A+\mathrm D_{\mathrm m}}{2}\Big)}{\sin\Big(\frac{\mathrm A}2\Big)}\)
Cette relation est importante, car elle est à la base de la mesure des indices de réfraction par la méthode dite du minimum de déviation du prisme. Celle-ci, qui consiste à rechercher expérimentalement la valeur de A et celle de la déviation Dm subie par un rayon lumineux monochromatique, permet d'atteindre n avec 5 décimales exactes. La méthode est applicable aux solides, mais également aux liquides ; dans ce dernier cas, on utilise un prisme creux dans lequel on verse le liquide à étudier.