Formules de Lagrange-Helmholtz

Formules de Lagrange-Helmholtz

Le rayon AI admet IA' comme rayon conjugué et on peut écrire dans les conditions de Gauss [1]:

\(\overline{\mathrm{OI}}=\alpha.\overline{\mathrm{OA}}=\alpha\mathrm'.\overline{\mathrm{OA'}}\)

soit :

\(\alpha.\mathrm{p}=\alpha'.\mathrm{p'}\)

et \(\frac{\alpha\mathrm'}{\alpha}=\frac{\mathrm p}{\mathrm{p'}}=\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{A'B'}}}\)

d'où la formule de Lagrange-Helmholtz : \(\alpha.\overline{\mathrm{AB}}=\alpha\mathrm'.\overline{\mathrm{A'B'}}\)

Le grandissement [2]axial est défini par : \(~\mathrm g=\frac{\mathrm{dp'}}{\mathrm{dp}}~\) où dp' est le déplacement de l' image [3]correspondant à un déplacement dp très petit de l' objet [4].

En reprenant la relation : \(-\frac1{\mathrm p}+\frac1{\mathrm{p'}}=\frac1{\mathrm{f'}}\) et en la différentiant on obtient :

\(\frac{\mathrm{dp'}}{\mathrm{p'}^2}-\frac{\mathrm{dp}}{\mathrm p^2}=0\)

d'où \(~~\mathrm g=\frac{\mathrm{dp'}}{\mathrm{dp}}=\frac{\mathrm{p'}^2}{\mathrm p^2}=\gamma^2\)

soit : \(g=\gamma^2~\) ; g est toujours positif [5]