Formules de Lagrange-Helmholtz [Lentilles minces]

Formules de Lagrange-Helmholtz

Le rayon AI admet IA' comme rayon conjugué et on peut écrire dans les conditions de Gauss ^[1]:

$\overline{\mathrm{OI}}=\alpha.\overline{\mathrm{OA}}=\alpha\mathrm'.\overline{\mathrm{OA'}}$

soit :

$\alpha.\mathrm{p}=\alpha'.\mathrm{p'}$

et $\frac{\alpha\mathrm'}{\alpha}=\frac{\mathrm p}{\mathrm{p'}}=\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{A'B'}}}$

d'où la formule de Lagrange-Helmholtz : $\alpha.\overline{\mathrm{AB}}=\alpha\mathrm'.\overline{\mathrm{A'B'}}$

Le grandissement ^[2]axial est défini par : $~\mathrm g=\frac{\mathrm{dp'}}{\mathrm{dp}}~$ où dp' est le déplacement de l' image ^[3]correspondant à un déplacement dp très petit de l' objet ^[4].

En reprenant la relation : $-\frac1{\mathrm p}+\frac1{\mathrm{p'}}=\frac1{\mathrm{f'}}$ et en la différentiant on obtient :

$\frac{\mathrm{dp'}}{\mathrm{p'}^2}-\frac{\mathrm{dp}}{\mathrm p^2}=0$

d'où $~~\mathrm g=\frac{\mathrm{dp'}}{\mathrm{dp}}=\frac{\mathrm{p'}^2}{\mathrm p^2}=\gamma^2$

soit : $g=\gamma^2~$ ; g est toujours positif^[5]

Notes

Conditions de GAUSS
Un système est utilisé dans les conditions de Gauss, lorsque les rayons qui le traversent sont peu inclinés sur l'axe principal ( rayons paraxiaux).
On peut alors considérer valable l'approximation qui permet de confondre l'angle d'incidence et son sinus (a~sina).
Dans ces conditions, il y a stigmatisme pour les points objet et image.
Ce stigmatisme est dit approché car il nécessite les conditions de Gauss pour être réalisé.
C'est en 1841 que Gauss a, le premier, présenté un exposé sur la formation des images dans cette approximation. Depuis, on emploie également les termes d'approximation de Gauss ou d'optique Gaussienne.
Grandissement
Le grandissement est un nombre algébrique, rapport entre les dimensions de l'image $A'B'$ et de l'objet $AB$ :
$\gamma=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}$
Lorsque le système est aplanétique, l'image $A'B'$ d'un objet $AB$ situé dans un plan de front est également dans un plan de front. Le grandissement mesuré dans ces conditions est un grandissement transverse.
Le grandissement longitudinal (ou axial) est le rapport algébrique des dimensions de l'image et de l'objet prises suivant l'axe principal du système optique.
Le grandissement, parfois appelé grandissement linéaire ne doit pas être confondu avec le grossissement $G$ qui fait référence à des angles.
Image
On appelle image d'un objet par un système optique, l'ensemble des images des points de l'objet.
On appelle image d'un point, la zone de convergence des rayons, après traversée du système optique (image réelle) ou la zone d'où les rayons semblent provenir (image virtuelle). Lorsque cette zone se réduit à un point, le système est dit stigmatique.
En pratique, l'image ressemble à l'objet (sinon le système ne présente pas d'intérêt), elle peut être
- agrandie : plus grande que l'objet ( |grandissement| >1) ;
- rapetissée : plus petite que l'objet ( |grandissement| <1) ;
- droite : dans le même sens que l'objet (grandissement >0) ;
- renversée : dans le sens contraire à l'objet (grandissement <0) ;
- déformée : un système qui déforme parce qu'il n'a pas le même grandissement dans différentes directions provoque une anamorphose (ex : glace déformante) ;
- floue
Objet
En optique, on appelle objet tout ensemble de points lumineux. Il peut s'agir d'une source primaire qui produit de la lumière (ex : soleil, étoiles, filament de lampe allumée, écran de télévision ou d'ordinateur en fonction), ou d'une source secondaire qui diffuse une partie de la lumière qu'elle reçoit (ex : lune, planètes, la plupart des objets qui nous entourent lorsqu'ils sont éclairés).
On considère, en général, des objets plans situés dans des plans de front de systèmes optiques.
Dans des systèmes composés on pourra considérer qu'une image produite par une première partie du système est un objet pour le reste du système.
Positif
L'image et l'objet se déplacent toujours dans le même sens que la lentille qu'elle soit convergente ou divergente.