Association de deux lentilles minces accolées

L'utilisation d'associations de lentilles minces [1]accolées ou non est fréquente lorsqu'il s'agit d'atténuer les aberrations ou d'augmenter une convergence (oculaires).

Nous considérerons dans cette première association que les lentilles sont amenées aussi près que le permet leur géométrie et qu'ainsi l'épaisseur résultante totale est faible : on admettra alors que les plans principaux des lentilles sont confondus en O et que l'ensemble est équivalent à une lentille mince unique de centre optique [2]O dont la vergence [3]est donnée par la formule de Gullstrand [4]dans laquelle on fait e=0 (puisque H'1 et H2 sont confondus) : \(\mathrm C=\mathrm C_1+\mathrm C_2~\), résultat que l'on retrouve facilement en appliquant les formules des lentilles minces à chacune des lentilles L1 et L2 :

\(-\frac1{\overline{\mathrm{OA}}}+\frac1{\overline{\mathrm{OA}_1}}=\frac1{\overline{\mathrm{OF'}_1}}\)

\(-\frac1{\overline{\mathrm{OA}_1}}+\frac1{\overline{\mathrm{OA'}}}=\frac1{\overline{\mathrm{OF'}_2}}\)

d'où : \(~-\frac1{\overline{\mathrm{OA}}}+\frac1{\overline{\mathrm{OA'}}}=\frac1{\overline{\mathrm{OF'}_1}}+\frac1{\overline{\mathrm{OF'}_2}}\)

ce qui montre que l'ensemble des deux lentilles est équivalent à une lentille mince de centre optique [2]O et de distance focale [3]f' telle que :

\(\frac1{\overline{\mathrm{OF'}}}=\frac1{\overline{\mathrm{OF'}_1}}+\frac1{\overline{\mathrm{OF'}_2}}\)

Ce qui nous conduit au théorème des vergences :

la vergence d'un système de deux lentilles minces accolées est la somme des vergences de chacune des lentilles minces constituant le système.

Si l'on utilise les formules de grandissement [5]pour chacune des lentilles minces on montre :

\(\frac{\overline{\mathrm A_1\mathrm B_1}}{\overline{\mathrm{AB}}}=\frac{\overline{\mathrm{OA}_1}}{\overline{\mathrm{OA}}}~\) et \(~\frac{\overline{\mathrm{A'B'}}}{\overline{\mathrm A_1\mathrm B_1}}=\frac{\overline{\mathrm{OA'}}}{\overline{\mathrm{OA}_1}}\)

\(\gamma=\frac{\overline{\mathrm{A'B'}}}{\overline{\mathrm{AB}}}=\frac{\overline{\mathrm{A'B'}}}{\overline{\mathrm A_1\mathrm B_1}}~\frac{\overline{\mathrm A_1\mathrm B_1}}{\overline{\mathrm{AB}}}=\frac{\overline{\mathrm{OA'}}}{\overline{\mathrm{OA}}}=\gamma_1.\gamma_2\)

\(\gamma=\gamma_1.\gamma_2\)

le grandissement linéaire du système des deux lentilles minces accolées est égal au produit des grandissements linéaires de chacune des lentilles minces.