Association de deux lentilles minces non accolées

Association de deux Doublet

Deux lentilles minces[1] \(L_1\) et \(L_2\) de distances focales[2] \(f'_1\) et \(f'_2\) séparées par : \(e=\overline{O_{\mathit1}O_{\mathit2}}\) forment un doublet que l'on définit en général par son symbole, ensemble de 3 nombres algébriques m, n et p, généralement entiers et tels que :

\(\frac{f'_{\mathit1}}m=\frac en=\frac{f'_{\mathit2}}p\)

si l'on applique la formule de Gullstrand[3] à cette association :

\( H'_1\) est en \(O_1\) et \(H_2\) est en \(O_2\) donc : \(\overline{H'_{\mathit1}H_{\mathit2}}=e\) et la convergence de l'association des deux lentilles est donnée par :

\(C=C_{\mathit1}~+~C_{\mathit2}~-~e.C_{\mathit1}.C_{\mathit2}=\frac1{f'_{\mathit1}}~+~\frac1{f'_{\mathit2}}~-~\frac{e}{f'_{\mathit1}.f'_{\mathit2}}=\frac{f'_{\mathit1}~+~f'_{\mathit2}~-~e}{f'_{\mathit1}.f'_{\mathit2}}=\frac1{f'}\) où f ' est la distance focale du doublet.

Posons : \(\overline{F'_{\mathit1}F_{\mathit2}}=\Delta\)

\(\Delta=\overline{F'_{\mathit1}O_{\mathit1}}~+~\overline{O_{\mathit1}O_{\mathit2}}~+~\overline{O_{\mathit2}F_{\mathit2}}=-f'_{\mathit1}~+~e~-~f'_{\mathit2}\) et donc : \(\frac1{f'}=-\frac{\Delta}{f'_{\mathit1}.f'_{\mathit2}}\) soit :

\(f'=-\frac{f'_{\mathit1}.f'_{\mathit2}}{\Delta}\)

le foyer image[4] F ' du doublet est le conjugué de \(F'_1\) dans \(L_2\) :

\(\overline{F_{\mathit2}{F'}_{\mathit1}}~.~\overline{{F'}_{\mathit2}F'}={-f'}_{\mathit2}^2\) d'où :

\(\overline{{F'}_{\mathit2}F'}=\frac{{f'}_{\mathit2}^2}{\Delta}\)

De même, le foyer objet[4] F est le conjugué de \(F_2\) dans \(L_1\) :

\(\overline{F_{\mathit1}F}~.~\overline{{F'}_{\mathit1}F_{\mathit2}}={-f'}_{\mathit1}^2\) d'où :

\(\overline{F_{\mathit1}F}=\frac{{f'}_{\mathit1}^2}{\Delta}\)

Tous les éléments cardinaux peuvent alors être mis en place.

Doublet symétrique

Les doublets sont souvent symétriques et admettent le milieu C de \(O_1O_2\) comme centre de symétrie. Les points nodaux objet N et image N' sont les conjugués[5] de C à travers \(L_1\) et \(L_2\) respectivement. Les points antinodaux sont les foyers \(F_1\) et \(F'_2\). Le foyer objet F du doublet est le milieu du segment \(NF_1\).

Doublet afocal

Un doublet est afocal si l'image[6] d'un objet[7] à l'infini est également à l'infini. Les foyers \(F'_1\) et \(F_2\) sont confondus. Nous prendrons les foyers \(F_1\) et \(F'_2\) qui sont conjugués, comme origines pour fixer la position de l'objet AB et celle de son image A'B'.Un doublet est afocal si l'image d'un objet à l'infini est également à l'infini. Les foyers \(F'_1\) et \(F_2\) sont confondus. Nous prendrons les foyers \(F_1\) et \(F'_2\) qui sont conjugués, comme origines pour fixer la position de l'objet AB et celle de son image A'B'.

Si l'on pose : \(~\overline{F'_{\mathit2}A'}=x'~\) et \(~\overline{F_{\mathit1}A}=x\) la relation donnant le grandissement[8] axial s'écrit :

\(g=\gamma^2=\frac{x'}{x}=\Big(\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}\Big)^2=\Big(\frac{f'_{\mathit2}}{f'_{\mathit1}}\Big)^2\) soit :

\(\frac{x'}{x}=\Big(\frac{f'_{\mathit2}}{f'_{\mathit1}}\Big)^2\)