Exercice 3
Partie
Question
Question 1.
Vérifier que, pour tout réel a vérifiant \(0<a<1\) et tout entier \(n\) positif, on a :
\(1-na \le (1-a)\,^n \le 1 - na + \frac { n(n-1) } {2}\, a^2\)
Aide simple
Et si vous essayiez une récurrence ?
Solution détaillée
Une récurrence permet de montrer cette double inégalité :
La propriété est vraie pour \(n=0 : 1 \le 1 \le 1\)
Supposons la propriété vraie à l'ordre n et montrons-la 1 - na + \frac { n(n-1) } {2}\, a^2à l'ordre n+1 :
en multipliant les inégalités : \(1-na \le (1-a)\,^n \le 1 - na + \frac { n(n-1) } {2}\, a^2\) par \((1-a)\) qui est un nombre positif, on obtient :
\((1-na)\,(1-a) \le (1-a)\,^{n+1} \le \left (1 - na + \frac { n(n-1) } {2}\, a^2 \right) (1-a)\)
or \((1-na)\,(1-a) =1-(n+1)\,a +na^2 \ge 1-(n+1)\,a\)
et de même
\(\left (1 - na + \frac { n(n-1) } {2}\, a^2 \right) (1-a) = 1 - (n+1)\,a + \frac { (n+1)n } {2}\, a^2 - \frac { n(n-1) } {2}\, a^3 \le 1 - (n+1)\,a + \frac { (n+1)n } {2}\, a^2\)
ce qui donne la double inégalité pour n+1.