Exercice 6

Partie

Question

Soit \(\theta\) un nombre réel,

montrer que la suite de terme général \(u_n = cos n\theta\) admet une limite si et seulement s'il existe un entier k tel que \(\theta= 2k\pi.\)

Aide simple

Il s'agit de montrer une équivalence : montrer chaque implication séparément.

Pour le cas où la suite est convergente, on pourra étudier les suites de terme général

\((u_{2n} - 2u_n^2) ~~et ~~ (u_{n+2} +u_n).\)

On rappelle la formule trigonométrique : \(cos \,p + cos\, q = 2 \,cos \,\frac {p+q}{2} \, cos\, \frac {p-q}{2}\)

Solution détaillée

Il s'agit de montrer une équivalence, montrons chacune des implications :

  • Si la suite admet une limite a, alors, d'après les théorèmes algébriques, les suites \((u_{2n} -2u_{n}^2) ~~ et ~~ (u_{n+2} + u_n)\) sont convergentes de limites respectives : \(a-2a^2 ~~et~~ 2a.\)

    L'égalité \(cos 2x - 2cos^2 x =1\) implique \((u_{2n} -2u_{n}^2)= cos 2n \theta -2cos n\theta =-1=a-2a^2\) , en particulier a est non nul.

    Comme \((u_{n+2} + u_n)=cos(n+2) \,\theta + cos \,n\theta=2 \,cos\,(n+1)\,\theta \,cos \,\theta\) on en déduit que \(2 \,a \,cos \,\theta=2a, a \neq 0 ~soit~ cos \,\theta =1\) c'est à dire s'il existe k entier tel que \(\theta =2k\pi.\)

  • Réciproquement, si \(\theta =2k\pi\), avec k entier, la suite est stationnaire donc convergente.