Exercice 9
Partie
Question
Question 2
La limite commune des deux suites précédentes est e , montrer que e est irrationnel.
Aide simple
Procéder par l'absurde en supposant que e=p/q et utiliser \(u_q < e < v_q\)
Solution détaillée
Raisonnons par l'absurde en supposant que e=p/q . En remarquant que \(u_q < u_{q+1} < e < v_{q+1} < v_q\),il vient, en réduisant au même dénominateur : \(u_q \, q q! < e \,q q! < 1+u_q \,q q !\)
Mais alors l'entier \(e q q!\) serait strictement compris entre deux entiers consécutifs, ce qui est impossible, d'où le résultat.