Exercice 1
Partie
Soit \((u_n)\) une suite de réels positifs ou nuls.
Question
Montrer que, si la série \(\sum u_n\) converge, il en est de même de la série \(\sum u^2_n.\)
Aide simple
Utiliser, pour un réel \(a\) vérifiant \(0 < a < 1,\) la majoration : \(0 < a ^2 < a < 1.\)
Solution détaillée
La série \(\sum u_n\) étant convergente, son terme général tend vers \(0\) et est inférieur à \(1\) à partir d'un certain rang \(N.\) On a donc : \(\forall n \geq N, 0\leq u^2_n<u_n,\) et, d'après le théorème de comparaison, la série \(\sum u^2_n\) est convergente.
Question
Montrer que les séries \(\sum u_n\) et \(\sum \frac{u_n}{1+u_n}\) sont de même nature.
Solution détaillée
Il faut étudier les deux cas, suivant que la série \(\sum u_n\) est convergente ou divergente.
Si la série \(\sum u_n\) est convergente, les inégalités : \(\forall n \geq 0\) \(0\leq \frac{u_n}{1+u_n}\leq u_n\) entraînent, par application du théorème de comparaison, que la série \(\sum \frac{u_n}{1+u_n}\) est convergente.
Si la série \(\sum u_n\) est divergente, on pose : \(\forall n \geq 0 \quad v_n=\frac{u_n}{1+u_n}.\) Deux cas sont possibles :
le terme général \(u_n\) tend vers 0, alors
\(\forall n, 0<v_n=\frac{u_n}{1+u_n}\) et \(v_n \sim_{n\rightarrow+\infty} u_n,\) la série \(\sum v_n\) est divergente ;
le terme général \(u_n\) ne tend pas vers 0, alors \(v_n\) ne tend pas vers 0.
Sinon, compte tenu de l'égalité \(u_n=\frac{v_n}{1-v_n}\) (on a bien \(\forall n, v_n\neq1),\) \(u_n\) tendrait vers \(0\) ce qui est contraire à l'hypothèse. La série \(\sum v_n\) est donc divergente.