Exercice 8

Partie

Question

Étude des séries de terme général : \(u_n=\frac{a-(-1)^n\sqrt{n}}{n-(-1)^n\sqrt{n}}\) \((n\geq 2,a\in \mathbb R)\).

Aide simple

On écrira le terme général sous forme d'une somme de deux termes, l'un d'eux étant celui d'une série satisfaisant au théorème des séries alternées et on étudiera suivant les valeurs de a la nature de la seconde série.

Solution détaillée

On a : \(u_n\begin{array}{c}\sim\\_{n\rightarrow+\infty}\end{array}\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}\). Une méthode pour étudier une série de cette forme est d'écrire

\(u_n=\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}+v_n\) avec \(v_n=\frac{a-1}{n-(-1)^n\sqrt{n}}\).

Ainsi la série \(\sum u_n\) est de même nature que la série \(\sum v_n\) car la série de terme général \(\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}\),

qui satisfait aux conditions du théorème des séries alternées, est convergente.

  • Si \(a = 1\) , \(v_n=0\) pour tout \(n\). La série \(\sum u_n\) est convergente.

  • Si \(a\neq 1\), la série \(\sum v_n\) est divergente car \(v_n\begin{array}{c}\sim\\_{n\rightarrow+\infty}\end{array}\frac{a-1}{n}\) et la série \(\sum u_n\) est donc également divergente.