Exercice 9
Partie
Question
Étude de la série de terme général : \(u_n=\frac{1}{1+2^{\frac12}+3^{\frac13}+\ldots+n^{\frac1n}}\), \(n\geq 1\)
Aide simple
Pour obtenir un encadrement du dénominateur, on écrit chacun de ses termes sous forme exponentielle. On peut alors utiliser les variations de la fonction définie sur l'intervalle \(]0,+\infty[\) par \(x\mapsto\frac{\ln x}{x}\)
Solution détaillée
On écrit le terme général sous la forme : \(u_n=\frac{1}{\displaystyle{\sum_{k=1}^n}e^{\frac1k\ln k}}\).
Le dénominateur est la somme de \(n\) termes qu'il convient de minorer ou de majorer. Or la fonction
\(f:x\mapsto\frac{\ln x}{x}\) vérifie \(f'(x)=\frac{1}{x^2}(1-\ln x)\).
Elle admet un maximum pour \(x = e\). On a donc :
\(\forall x>0\), \(e^{\frac1x\ln x}<e^{\frac1e}\), d'où \(\forall k \in \{1,2,\ldots,n\}\), \(e^{\frac1k\ln k}\leq e^{\frac1e}\).
On en déduit \(\forall n\geq 1\), \(u_n\geq \frac{1}{ne^{\frac1e}}\). La série est divergente.