Exercice 5

Partie

Question

Étude de la série de terme général : \(u_n=\frac{x^n}{1+y^n}\)\((x,y)\in \mathbb R_+^2\).

On représentera la partie de \(\mathbb R^2_+\) où il y a convergence.

Solution détaillée

La série est à termes positifs. Quand \(n\) tend vers \(+\infty\), trois cas sont à envisager :

  • \(y>1\) alors \(u_n\sim\left(\frac xy\right)^n\). La série converge si et seulement si \(\frac xy<1\).

  • \(y=1\) alors \(u_n=\frac{x^n}{2}\). La série converge si et seulement si \(x<1\).

  • \(y<1\) alors \(u_n\sim x^n\)La série converge si et seulement si \(x<1\).

La série est donc convergente dans les cas suivants :

\(\left\{\begin{array}{ccc}y>1&et&x<y\\y\leq1&et&x<1\end{array}\right.\)